És ben sabut que en el pla existeixen quatre tipus d'isometries. Qualsevol isometria directa és un gir o bé una translació. I qualsevol isometria inversa és una simetria o bé una translació composada amb una simetria, on el vector de la translació és a la vegada vector director de l'eix de simetria.

L'objectiu didàctic de les aplicacions no és demostrar aquesta afirmació sinó veure quina és la naturalesa d'aquestes isometries així com de les homotècies. L'estudi d'aquestes figura en el currículum de tercer ESO LOE.

Contextualització de l'ús didàctic

Aquestes aplicacions han estat concebudes per fer una introducció de dues sessions al tema de moviments en el pla de tercer d'ESO. L'objectiu fonamental és motivar l'alumnat per afrontar el tema a través de la bellesa i la curiositat dels mosaics d'Escher (http://mcescher.com) i les fractals (insisteixo, les fractals).

En una primera sessió es poden introduir la translació, el gir i la simetria i es pot deixar pel segon dia la translació composta amb la simetria i l'homotècia. També es pot optar per fer en un sol dia els quatre moviments i deixar l'homotècia per més endavant, ja que la connexió no és tant evident.

Recomanacions pràctiques

Totes les aplicacions són a https://www.geogebra.org/m/SbfMDJFb#chapter/141505. Es poden visualitzar online, però és recomanable descarregar-les prèviament per evitar problemes amb el navegador.

Les projeccions es poden fer sobre una pantalla, però guanyem llibertat si projectem sobre una pissarra, encara que sigui opaca. No es veu tant malament i ens permet dibuixar a sobre, resseguir els contorns dels mosaics i marcar els elements dels moviments (centres de rotació i eixos de simetria).

Translació

La translació és el moviment més bàsic i fàcil d'entendre pels alumnes. És un bon moment per introduir el concepte de vector. L'aplicació està concebuda pensant precisament amb aquesta introducció.

Abans de mostrar el GeoGebra, és convenient reflexionar amb els alumnes com és una translació, simplement movent una taula o qualsevol element de la classe.

Aleshores, ja amb l'applet al davant, es pot preguntar si hi veuen alguna translació i quantes n'hi ha. Evidentment la resposta és infinites i, donades la translació horitzontal i vertical, qualsevol combinació lineal amb coeficients enters dels dos vectors translació ens donarà una nova translació. El nivell de l'explicació haurà de ser d'acord amb les capacitats dels alumnes.

Rotació

La rotació també és prou fàcil d'entendre. Aquí, la dificultat afegida és que podem fer una rotació respecte un punt exterior a una figura. Si comencem per veure la rotació respecte C, de seguida podem reflexionar com tots els llangardaixos fan la rotació i per tant un llangardaix que estigui lluny del centre de rotació fa el moviment d'una determinada manera.

Podem parlar també dels diferents ordres. C i E tenen ordre 4 (el mosaic coincideix quatre vegades, cada 90°) mentre que D i F tenen ordre 2. En aquest sentit és molt curiós l'efecte d'activar simultàniament C i E, D i F i, finalment, tots a la vegada. L'efecte visual és molt impactant.

Si es projecta sobre una pissarra, es poden anar marcant els centres de rotació i podran observar com queda una graella-escaquer (si tenim en compte els ordres de rotació).

Simetria

La simetria comporta la dificultat de ser un moviment invers però hi estan familiaritzats pels miralls. Així, podem tornar a preguntar si veuen algun eix de simetria i quants n'hi ha, altra vegada infinits. Visualitzem els tres principals (a, b i c) i altra vegada, per separat primer i després a la vegada, podem mostrar l'efecte de la simetria.

Les reflexions que podem fer són sobre l'angle entre els eixos (180°/n=60°, en aquest cas) i, si ho marquem a la pissarra, podem veure que es crea una graella de triangles equilàters.

Simetria i translació

Es tracta d'el moviment més complex. No és tant evident com els altres però és el que queda per completar el conjunt dels moviments en el pla. En aquest sentit és prescindible si el nostre objectiu no és donar una visió global de tots els moviments que conserven les distàncies, però l'applet presenta activitats interessants.

En primer lloc, el dibuix sembla bastant caòtic i amb moltes figures diferents. L'observació atenta i guiada ens pot ajudar a veure que en realitat només hi ha dues figures. En primer lloc proposem la translació evident, si cal, després de preguntar als alumnes si en veuen alguna. Després activem l'altra animació i veiem en què consisteix això de fer una composició de moviments. Cal fer-ho a poc a poc perquè els alumnes distingeixin clarament on acaba la simetria i comença la translació.

Finalment comença la part més interessant, que és preguntar als alumnes si veuen algun dels moviments proposats anteriorment. Hi ha translacions horitzontals i verticals, no hi ha cap simetria, i hi ha infinits centres de rotació. Podem proposar als alumnes que els vegin que els marquin sobre la pissarra. Quan estiguin tots localitzats, veurem que queda una graella rectangular!!

Com crear mosaics

Una activitat complementària pot ser crear mosaics de collita pròpia. Un exemple és a la següent pàgina. Es tracta de dividir un triangle equilàter amb tres línies, cada una sortint d'un vèrtex, que es trobin per algun punt interior del triangle, de manera que al fer la simetria de cada una de les línies es formi una figura.

Un exemple seria el que teniu al cantó, amb una sípia, una gallina i un senyor xinès, molt surrealista, però el GIMP no dóna més de si mentre estigui jo al ratolí.

Un mosaic més senzill és el dels pegasos. En aquest cas partim d'un quadrat (o rectangle) i deformem els costats oposats de la mateixa manera. Això conserva les translacions vertical i horitzontal.

En el cas dels llangardaixos, com que hem de fer rotacions, cal fer coincidir la deformació del costat superior amb la del dret (o bé l'esquerre) a través d'una rotació. El mateix amb l'inferior i el costat restant.

Homotècies

Les homotècies presenten dificultats per la comprensió. En aquest cas, he escollit una fractal (el triangle de Sierpinski) a la qual, al fer una homotècia reductora de raó 1/2ⁿ, la convertim en ella mateixa. L'aplicació pot ser motivadora, però no estic segur del seu valor didàctic pel que fa a les homotècies.

Aquí no se m'acudeixen grans raonaments per fer. És curiós i prou. De tota manera, amb un grup avançat (que conegui els logaritmes??) es pot parlar de la dimensió de les fractals. En aquest cas, l'àrea és 0, la longitud infinita i la dimensió és log3/log2:

Si a una superfície li dupliquem les longituds, es quadruplica l'àrea. Si multipliquem per 3, es repetirà 9 vegades (3²=9), per 4, 16 (4²=16) i, en general, per una raó r, r². Si es tracta de volums, serà r³. A aquest exponent li diem dimensió.

Al triangle de Sierpinski de base doble, només li caben tres triangles de Sierpinski normals. Per tant, si d és la dimensió del triangle, tenim 2^d=3. Per tant, d=log₂3=log3/log2.

Per més informació, http://www.xtec.es/ieslabisbal/fractals/