Taller de Análisis Geométrico 2010
Bellaterra, 16 y 17 de septiembre de 2010

Clasificaremos las soluciones a la ecuación de Liouville en el semiplano superior con una cierta condición de Neumann sobre el eje real que genera singularidades. Concretamente, este problema describe métricas conformes de curvatura constante tales que el borde tiene curvatura geodésica constante (respectivamente c1 en R+ y c2 en R-). Trabajo conjunto con J.A. Gálvez y Pablo Mira.

En esta charla, hablaremos de estimaciones para grafos de curvatura media constante positiva en 3-variedades producto MxR cuyas fronteras estén contenidas en un slice. Comenzaremos dando cotas inferiores óptimas para la curvatura geodésica de la frontera y dichas cotas serán mejoradas mediante suposiciones adicionales sobre la altura de la superficie en MxR. Para terminar, utilizaremos técnicas similares para acotar inferiormente la distancia de un punto interior a la frontera en términos de la altura de dicho punto. Además, estudiaremos cuándo todas las cotas se alcanzan.

Las ecuaciones de evolución son una herramienta muy útil para construir métricas especiales sobre variedades diferenciables. Fueron introducidas por Hitchin para construir métricas en dimensión 7 con grupo de holonomía Riemanniana G_2. En esta charla, introduciremos las ecuaciones de evolución apropiadas para construir métricas Hermíticas equilibradas y estructuras SKT (strong Kähler with torsion) en dimensión 6 partiendo de ciertas estructuras en dimensión 5. También presentaremos ejemplos explícitos de métricas obtenidas de este modo. Trabajos de referencia: arXiv:0909.3946[math.DG], arXiv:0808.1201[math.DG].

Un lema clásico de Cartan permite encontrar una isometría entre dos entornos de dos puntos de dos variedades distintas, si se verifica una condición sobre el transporte paralelo de la curvatura. En 1956, Ambrose conjeturó que bajo las mismas hipótesis debe haber una isometría global entre las dos variedades, pero la posibilidad de encontrar puntos conjugados a lo largo de las geodésicas complica bastante el problema. Entre 1982 y 1996 James Hebda y J. Itoh demuestran la conjetura para superficies, pero dificultades de tipo topológico y analítico impiden extender la prueba a dimensión superior. En esta charla contaremos esta historia, y hablaremos de nuestros intentos de demostrar la conjetura en situaciones nuevas.

Una región isoperimétrica por un volumen fijo es una región que minimiza el perímetro entre todas aquellas que tienen el mismo volumen. En esta charla voy a hablar de un resultado de existencia de regiones isoperimétricas en variedades sub-Riemannianas de contacto que tienen suficientes isometrías (necesitamos que el cociente entre la variedad y el grupo de isometrías sea compacto). Vamos a utilizar técnicas introducidas por F. Morgan en variedades Riemannianas y explicamos que es necesario adaptar al pasar al ambiente sub-Riemanniano. Trabajo conjunto con M. Ritoré.

El objetivo de esta charla es introducir el cuerpo de proyección de un conjunto convexo del espacio euclídeo. Así pues, primeramente definiremos el cuerpo de proyección (real) dando sus principales propiedades, entre ellas, probaremos que satisface desigualdades tipo Brunn-Minkowski. También daremos su caracterización como valoración contravariante respecto el grupo lineal. Al final de la charla veremos cómo se puede definir el cuerpo de proyección en el espacio complejo y qué propiedades se conservan.

Estudiaremos en primer lugar tres familias de soluciones autosemejantes del flujo Lagrangiano de la curvatura media construidos a partir de curvas planas, esféricas e hiperbólicas, y clasificaremos todas las superficies Lagrangianas que, además de ser autosemejantes, son Hamiltonianas estacionarias en el plano Euclídeo complejo.