Corbes amb molts punts sobre cossos finits

Xavier Xarles

Versió preliminar

0. Codis i corbes sobre cossos finits

Sigui 𝔽_{q} un cos finit amb q = p^{m} elements, on p és un nombre primer i m ≥ 1 (que s’anomena l’alfabet), i considerem el 𝔽_{q}-espai vectorial 𝔽_{q}^{n} (els elements del qual anomenem paraules i n l’anomenem la llargada de les paraules). Considerem la distancia de Hamming a 𝔽_{q}^{n} donada per d(x, y) := #{i : x_{i} ≠ y_{i}}. El pes ω(x) d’una paraula x és la distancia a l’origen. Un codi lineal es un subespai lineal C de 𝔽_{q}^{n}.

Direm que C ⊆ 𝔽_{q}^{n} és un (n, k, d)-codi si la seva dimensió és k i el mínim pes d’una paraula no zero a C és d. Associem a un tal codi els nombres entre 0 i 1 donats per δ := d/n (distancia relativa) i R := k/n (taxa de transmissió). Problema essencial de la teoria de codis: Construir una seqüència de codis C_{i} amb paràmetres δ_{i} i R_{i} tals que δ := lim δ_{i} i R := lim R_{i} són els dos diferents de zero (l’anomenarem una seqüència asimptòticament bona).

El 1973 Goppa va idear un mètode per a construir bons codis a partir de la geometria algebraica: considerem X una corba irreductible, llisa i projectiva sobre 𝔽_{q} i P := {P_{1}, …, P_{n}} un subconjunt de n punts diferents 𝔽_{q}-racionals de X. Sigui L el subespai del cos de funcions 𝔽_{q}(X) de X format per les funcions que no tenen cap pol a P. Aleshores podem definir el morfisme evaluació

α : L ⟶ 𝔽_{q}^{n}

donat per α(f) := (f(P_{1}), …, f(P_{n})). L’image de α és un codi. Més en general, si prenem D un 𝔽_{q}-divisor de X podem definir

L(D) := {f ∈ 𝔽_{q}(X) : (f) + D ≥ 0} ∪ {0}

i si supp(D) i P no intersecten podem definir el mateix morfisme evaluació obtenint el codi que anomenarem C(D, P). Tenim que alguns dels invariants d’aquest codi es poden calcular a partir de C, P i D. Per exemple tenim:

Teorema 1 Si el gènere de X és g i el grau de D compleix que g ≤ deg(D) ≤ n, aleshores k ≥ deg(D) + 1 − g amb igualtat si deg(D) ≥ 2g − 1, i d ≥ n − deg(D).

Exemple 2 Si X = ℙ^{1}, D = m∞ i P := ℙ^{1} \ {∞}, aleshores L(D) és l’espai dels polinomis de grau com a molt m i C(D, P) és un (q, m + 1, q − m)-codi.

Corol·lari 3 Si fixem el nombre deg(D)/n, aleshores la taxa de transmisió R = k/n creix com n/g. A més a més, tenim que

R + δ ≥ 1 + (1 − g)/n.

Així doncs, per a construir bons codis necessitem corbes amb molts punts (respecte el gènere); o millor, per a construir bones seqüències de codis necessitem seqüències de corbes amb molts punts, i.e. corbes X_{i} tals que lim X_{i}(𝔽_{q})/g(X_{i}) = γ > 0; obtindrem així una seqüència de codis amb punt límit (R, δ) per sobre de la recta R + δ = 1 − 1/γ.

1. Cotes per el nombre de punts de corbes sobre cossos finits

Comencem recordant el resultat clàssic de Hasse i Weil per el nombre de punts d’una corba de gènere g sobre 𝔽_{q}.

Teorema 4 (Hasse-Weil) Sigui X una corba (llisa i projectiva) sobre 𝔽_{q} de gènere g. Aleshores existeix un polinomi

P_{X}(t) = ∏_{i=1}^{2g}(1 − α_{i}t)

amb coeficients a ℤ, on α_{i} són nombres complexos verificant |α_{i}| = \sqrt{q}, tal que

#X(𝔽_{q^{r}}) = q^{r} + 1 − ∑_{i=1}^{2g} α_{i}^{r}.

De fet el polinomi en qüestió és el polinomi característic del Frobenius actuant (per exemple) al mòdul de Tate de la jacobiana de X.

Corol·lari 5 (Cota de Hasse-Weil) Si X una corba (llisa i projectiva) sobre 𝔽_{q} de gènere g, aleshores

|#X(𝔽_{q}) − (q + 1)| ≤ 2g\sqrt{q},

i per tant

#X(𝔽_{q}) ≤ q + 1 + 2g\sqrt{q}

Exemple 6 Considerem la corba plana X sobre 𝔽_{q^{2}} donada per l’equació homogènia (en el projectiu)

x^{q+1} + y^{q+1} + z^{q+1} = 0,

(anomenada corba hermitiana). Aleshores el gènere de X és q(q − 1)/2 i té exactament q^{3} + 1 = q^{2} + 1 + 2gq punts. Així doncs la cota de Hasse-Weil s’assoleix.

Vist aquest últim exemple podríeu pensar que la cota de Hasse-Weil no és millorable. Observem primer que de fet només tenim un exemple quan q és un quadrat, i.e. quan \sqrt{q} és enter, de manera que la cota de Hasse-Weil és un nombre enter. Podríem pensar que en general podrem arribar fins a la part entera de q +1+2g\sqrt{q}, i.e. q +1+[2g\sqrt{q}]. Però aquesta cota es pot millorar!

Teorema 7 (Serre) Si X una corba (llisa i projectiva) sobre 𝔽_{q} de gènere g, aleshores

#X(𝔽_{q}) ≤ (q + 1) + g[2\sqrt{q}].

Demostració. Ordenem les arrels de P_{X}(t) de manera que \overline{α_{i}} = α_{i+g} = q/α_{i} per a 1 ≤ i ≤ g (sempre es pot fer). Considerem els nombres reals estrictament positius

β_{i} := α_{i} + \overline{α_{i}} + [2\sqrt{q}] + 1,

que són enters algebraics. Aleshores

β := ∏_{i=1}^{g} β_{i}

és un nombre enter, ja que es fix per el grup de Galois de ℚ(α_{1}, …, α_{2g}) sobre ℚ, i, com que els β_{i} són estrictament positius, β ≥ 1.

Ara, la desigualtat entre la mitjana aritmètica i la geomètrica ens diu que

\frac{1}{g} ∑_{i=1}^{g} β_{i} ≥ ^{g} \sqrt{∏_{i=1}^{g} β_{i}} ≥ 1

d’on tenim que

g ≤ ∑_{i=1}^{g}(α_{i} + \overline{α_{i}} + [2\sqrt{q}] + 1) = ∑_{i=1}^{2g} α_{i} + g[2\sqrt{q}] + g.

Aplicant el teorema de Hasse-Weil obtenim la cota buscada. □

Una altre observació és que de fet la cota de Hasse-Weil (o la de Serre) sols és òptima per a gèneres baixos (comparats amb q). Per exemple, observem, tal com va fer Ihara, que si el nombre de punts de X a 𝔽_{q} és “alt”, aleshores el nombre de punts a 𝔽_{q^{2}} és “baix”. En efecte,

#X(𝔽_{q^{2}}) = q^{2} + 1 − ∑_{i=1}^{g}(α_{i}^{2} + \overline{α_{i}}^{2}) = q^{2} + 1 + 2qg − ∑_{i=1}^{g} t_{i}^{2}

on em denotat t_{i} := α_{i} + \overline{α_{i}}. Aplicant la desigualtat de Cauchy-Schwartz obtenim

#X(𝔽_{q^{2}}) ≤ q^{2} + 1 + 2qg − \frac{1}{q}(∑_{i=1}^{g} t_{i})^{2} = q^{2} + 1 + 2qg − \frac{1}{g}(#X(𝔽_{q}) − q − 1)^{2}.

Utilitzant que

#X(𝔽_{q}) ≤ #X(𝔽_{q^{2}})

deduïm el següent teorema.

Teorema 8 (Ihara) Si X una corba (llisa i projectiva) sobre 𝔽_{q} de gènere g, aleshores

#X(𝔽_{q}) ≤ 1 + q + [(\sqrt{g^{2} − 4 qg + 4 q^{2}g + 8 qg^{2}} − g)/2].

Aquest resultat es millor que la cota de Serre si g > (q−\sqrt{q})/2. Com a conseqüència tenim que si una corba X té exactament (q +1)+g[2\sqrt{q}] punts racionals, aleshores g ≤ (q −\sqrt{q})/2.

Finalment arribem a la idea de Serre de considerar els punts de X en totes les extensions 𝔽_{q^{n}} de 𝔽_{q} d’una manera optimal. La idea de Serre és utilitzar polinomis trigonomètrics.

Considerem com abans α_{i} les arrels del polinomi de Frobenius que escrivim de la forma α_{i} = \sqrt{q}e^{iθ_{i}}, per a certs θ_{i} ∈ ℝ. Observem que

N_{q^{n}} := #X(𝔽_{q^{n}}) = q^{n} + 1 − ∑_{i=1}^{g}(α_{i}^{n} + \overline{α_{i}}^{n}) = q^{n} + 1 − q^{n/2} ∑_{i=1}^{g} 2 cos(nθ_{i}),

d’on tenim que

N_{q} (\frac{1}{\sqrt{q}} )^{n} ≤ N_{q^{n}} (\frac{1}{\sqrt{q}} )^{n} = (\sqrt{q})^{n} + (\frac{1}{\sqrt{q}} )^{n} − ∑_{i=1}^{g} 2 cos(nθ_{i}).

Donat n_{0} ≥ 1, considerem una successió de nombres reals u_{n} ≥ 0, amb els u_{n} = 0 per a tots els n ≥ n_{0}, tals que el polinomi trigonometric

f(θ) := 1 + 2 ∑_{n=1}^{∞} u_{n} cos(nθ) ≥ 0

per a tota θ ∈ ℝ. Prenem ara ψ(t) := ∑_{n=1}^{∞} u_{n}t^{n} (és un polinomi en t).

Observació 9 f(θ) = ψ(e^{iθ}) + ψ(e^{−iθ}) + 1

Exemple 10 Amb n_{0} = 1 el millor polinomi possible és ψ(t) = \frac{1}{2}t. Amb n_{0} = 2 tenim ja infinites opcions, per exemple ψ(t) = \frac{2}{3}t + \frac{1}{3}t^{2}.

Multiplicant les desigualtats anteriors per u_{n} i sumant respecte n tenim que

N_{q}ψ (\frac{1}{\sqrt{q}} ) ≤ ∑_{n=1}^{∞} u_{n}N_{q^{n}} (\frac{1}{\sqrt{q}} )^{n} = ψ(\sqrt{q}) + ψ (\frac{1}{\sqrt{q}} ) +

+ ∑_{i=1}^{g} (−2 ∑_{n=1}^{∞} u_{n} cos(nθ)) = ψ(\sqrt{q}) + ψ (\frac{1}{\sqrt{q}} ) + ∑_{i=1}^{g}(1 − f(θ_{i})).

i utilitzant que 1 − f(θ) ≤ 1 obtenim finalment la fórmula

N_{q}ψ (\frac{1}{\sqrt{q}} ) ≤ ψ(\sqrt{q}) + ψ (\frac{1}{\sqrt{q}} ) + g.

Exercici 11 Per a ψ(t) = \frac{1}{2}t obtenim la cota de Hasse-Weil. Per a ψ(t) = \frac{2}{3}t + \frac{1}{3}t^{2} obtenim la cota

N_{q} ≤ \frac{2q\sqrt{q} + q^{2}}{2\sqrt{q} + 1} + 1 + \frac{3q}{2\sqrt{q} + 1}g.

(per exemple, per a q = 2 aquesta cota és millor que la cota de Serre per a tot g ≥ 2.)

El problema és ara trobar una successió de u_{n} òptims. Si fixem q i el nombre de punts N_{q} el problema de trobar els u_{n} que minimitzen g és bàsicament un problema de programació lineal que va ser resolt per Oesterlé. No posarem el resultat aquí però si es vol es pot consultar el article de Schoof ([Sch],Theorem 7.3). El que si que farem serà utilitzar aquest resultat per a la següent secció.

Un altre problema que no tractarem aquí es l’estudi de les corbes que assoleixen la cota de Hasse-Weil, anomenades corbes maximals; el lector pot consultar per exemple [vdG], secció 7, i les referències que conté.

2. Cotes asimptòtiques per el nombre de punts de corbes sobre cossos finits

Recordem que el nostre objectiu no és només trobar corbes amb molts punts si no trobar successions de corbes amb molts punts amb gènere creixent (sobre un cos fixat 𝔽_{q}). Definim així

N_{q}(g) := max{#X(𝔽_{q}) : X corba de gènere g }

i

A(q) := lim sup_{g→∞} \frac{N_{q}(g)}{g}

El nostre primer objectiu és calcular aquest limit. El teorema següent ens dona la cota més bona trobada fins ara.

Teorema 12 (Drinfeld-Vladut)

A(q) ≤ \sqrt{q} − 1

Observem que la cota de Hasse-Weil sols ens dona A(q) ≤ 2\sqrt{q}, així que la millora és prou gran. De fet, en el cas que q és un quadrat, tenim una igualtat, resultat que demostrarem en el cas que q = p^{2}.

Farem la demostració del teorema utilitzant la idea de Serre que hem explicat al final de la secció anterior; la demostració original de Drinfeld i Vladut és diferent (i potser més obscura); podeu consultar-la a [Ste],Theorem 6.23. Demostració. Recordem que teníem

N_{q}ψ (\frac{1}{\sqrt{q}} ) ≤ ψ(\sqrt{q}) + ψ (\frac{1}{\sqrt{q}} ) + g,

d’on obtenim que

A(q) ≤ \frac{1}{ψ (\frac{1}{\sqrt{q}})}

Observem que com més grans siguin els u_{n} que surten a la definició de ψ(t) = ∑_{n=1}^{∞} u_{n}t^{n}, millor cota obtindrem. Ara bé, de la condició

f(θ) := 1 + 2 ∑_{n=1}^{∞} u_{n} cos(nθ) ≥ 0

no és difícil de veure que u_{n} ≤ 1. Per tant la millor opció seria prendre tots els u_{n} iguals a 1; però així no tindríem un polinomi! El que fem és considerar una successió de polinomis ψ_{N} per a cada N de manera que els seus coeficients es vagin aproximant a 1 a mesura que N → ∞. Per exemple podem prendre

ψ_{N}(t) := ∑_{i=1}^{N} (\frac{N + 1 − i}{N + 1}) t^{i}.

Aleshores es verifica que

1 + ψ_{N}(t) + ψ_{N}(t^{−1}) = \frac{1}{N + 1}(1 + t + ⋯ + t^{N})(1 + t^{−1} + ⋯ + t^{−N})

d’on es dedueix que els ψ_{N}(t) verifiquen la condició buscada.

Deduïm per tant que

A(q) ≤ lim_{N→∞} \frac{1}{ψ_{N} (\frac{1}{\sqrt{q}})} = \frac{1}{∑{∞ \atop n=1} (\frac{1}{\sqrt{q}})n} = \sqrt{q} − 1 □

3. Construcció explícita de torres de corbes amb molts punts

L’objectiu d’aquesta secció és construir explícitament torres de corbes amb molts punts basant-nos en els mètodes de A. García i H. Stichtenoth ([Gar-Sti], [Sti]). Primer de tot farem un canvi de llenguatge: enlloc de considerar les corbes X considerarem el seu cos F de funcions racionals; els punts 𝔽_{q}-racionals de X correspondran aleshores a les places racionals de F i.e. les valoracions discretes de F amb cos residual 𝔽_{q}.

Així el nostre objectiu serà construir torres de cossos

F := {𝔽_{q} ⊆ F_{0} ⊆ F_{1} ⊆ ⋯ ⊆ F_{n} ⊆ ⋯}

de manera que cada extensió F_{n}/𝔽_{q} és de grau de transcendència 1 i tal que 𝔽_{q} és algebraicament tancat a F_{n}, F_{n+1}/F_{n} és una extensió separable de grau > 1, i lim g(F_{n}) = ∞, on g(F_{n}) denota el gènere de F_{n} (de fet, només imposant que g(F_{n}) > 2 per algun n, l’ultima condició ja es verifica).

Anomenarem N(F_{n}) el nombre de places racionals de F_{n}. Definim

λ(F) := lim_{n→∞} N(F_{n})/g(F_{n})

i direm que F és asimptòticament bona (òptima) si λ(F) > 0 (= \sqrt{q} − 1).

Lema 13 Un torre F és asimptòticament bona si i només si existeixen constants c_{1}, c_{2} > 0 tals que

(A) g(F_{n}) ≤ c_{1}[F_{n} : F_{0}] i (B) N(F_{n}) ≥ c_{2}[F_{n} : F_{0}]

per a tot n > 0.

Demostració. La suficiencia es evident. L’altre implicació surt de la fórmula del gènere de Hurwitz: si n ≥ j ≥ 0 tenim que

g(F_{n}) − 1 = [F_{n} : F_{j}](g(F_{j}) − 1) + \frac{1}{2} deg(Diff(F_{n}/F_{j})) ≥ [F_{n} : F_{j}](g(F_{j}) − 1)

on Diff(F_{n}/F_{j}) és la diferent de F_{n}/F_{j}. Considerem també la estimació trivial N(F_{n}) ≤ [F_{n} : F_{0}]N(F_{0}).

Com que lim N(F_{n})/g(F_{n}) > 0, aleshores existeix un ϵ > 0 tal que N(F_{n})/g(F_{n}) > ϵ per a tot n, d’on, utilitzant les acotacions anteriors, obtenim el resultat buscat. □

A més, sota les hipòtesis del Lema tindrem que λ(F) ≥ c_{1}/c_{2}.

La condició (B) es fàcil de verificar: per exemple, si tenim un conjunt de places racionals S de F_{0} que descomponen totalment a F_{n} per a tot n, aleshores N(F_{n}) ≥ #S[F_{n} : F_{0}].

La condició (A) és molt més delicada: cal controlar molt bé el grau deg(Diff(F_{n}/F_{0})) de la diferent de F_{n}/F_{0}.

Direm que una plaça P de F_{0} és no ramificada a F si és no ramificada a totes les extensions F_{n}/F_{0}; en cas contrari direm que és ramificada. Considerem el conjunt

V (F) := {P | P és una plaça de F_{0} ramificada a F }.

Aleshores tenim que

deg(Diff(F_{n}/F_{0})) = ∑_{P ∈V (F)} d_{n}(P)

on

d_{n}(P) := ∑_{Q_{n}/P} d(Q_{n}/P) · deg(Q_{n})

on la suma es mou dins de totes les places Q_{n} de F_{n} a sobre de P i d(Q_{n}/P) és l’exponent de la diferent de Q_{n} sobre de P. Per exemple, si l’index de ramificació e(Q_{n}/P) de Q_{n} sobre P és primer amb p, aleshores d(Q_{n}/P) = e(Q_{n}/P) − 1; en general tenim que d(Q_{n}/P) ≥ e(Q_{n}/P) − 1.

Utilitzant aquestes notacions i la fórmula de Hurwitz obtenim el següent criteri en el cas moderadament ramificat.

Lema 14 Supossem que V (F) és finit, el gènere de F_{0} és 0 i que F_{n}/F_{0} és moderadament ramificada per a tot n ≥ 0, aleshores

λ(F) ≥ \frac{2#S}{v − 2},

on v := ∑_{P ∈V (F)} deg(P).

Demostració. En efecte, si F_{n}/F_{0} és moderadament ramificada, aleshores d_{n}(P) ≤ [F_{n} : F_{0}] deg(P), i per tant, aplicant la fórmula de Hurwitz,

g(F_{n}) − 1 = [F_{n} : F_{0}](g(F_{0}) − 1) + \frac{1}{2} ∑_{P ∈V (F)} d_{n}(P) ≤ [F_{n} : F_{0}] (\frac{1}{2}v − 1) .

D’altre banda tenim que N(F_{n}) ≥ [F_{n} : F_{0}]#S, i així obtenim

\frac{N(F_{n})}{g(F_{n})} ≥ \frac{#S}{\frac{1}{2}v − 1 + \frac{1}{[F_{n}:F_{0}]}}

d’on tenim finalment que

λ(F) = lim_{n→∞} \frac{N(F_{n})}{g(F_{n})} ≥ \frac{#S}{\frac{1}{2}v − 1} □

Anem a veure un mètode general per a construir torres de cossos.

Estratègia 15 Comencem escollint un polinomi irreductible en dues variables φ(X, Y) ∈ 𝔽_{q}[X, Y] que sigui separable en X i en Y, i construïm la següent torre de cossos definida recursivament com

F_{0} := 𝔽_{q}[x_{0}] F_{n+1} := F_{n}[x_{n+1}]/(φ(x_{n}, x_{n+1})) si n > 0.

La idea principal és que el cos F := 𝔽_{q}[X, Y]/(φ(X, Y)) conté molta de la informació necessaria de la torre F := (F_{n}).

Exemple 16 Si el grau en X i el grau en Y de φ(X, Y) són diferents, aleshores la torre F no és asimptòticament bona, o sigui λ(F) = 0.

Anem a veure alguns exemples concret de torres asimptòticament bones.

Exemple 17 Suposem que q és un quadrat, q = r^{2}, amb r > 2. Considerem la torre de cossos sobre 𝔽_{q} definida recursivament pel polinomi

φ(X, Y) := Y^{r−1} + (X + 1)^{r−1} − 1

o sigui que F_{n} := 𝔽_{q}[x_{0}, …, x_{n}] amb les relacions

x_{i+1}^{r−1} = 1 − (1 + x_{i})^{r−1} per a 0 ≤ i ≤ n − 1,

o sigui que l’extensió F_{n}/F_{n−1} consisteix en adjuntar una arrel (r − 1)-èsima x_{n} de 1 − (1 + x_{n−1})^{r−1}. És clar que cada una de les extensions es moderadament ramificada (observeu que cada extensió F_{n}/F_{n−1} és una extensió de Kummer).

Anem a calcular V (F) i S(F). L’única plaça racional que descompon totalment a F_{n}/F_{0} és ∞, així que #S = 1.

D’altre banda, no es difícil veure utilitzant les propietats de les extensions de Kummer que V (F) és igual a les places α a 𝔽_{q}(X) que ramifiquen a F/𝔽_{q}(X), que a la vegada és corresponen als zeros de (X + 1)^{r−1} − 1 més ∞; per tant v ≤ r. Així, aplicant el lemma 14, tenim que

λ(F) ≥ 2/(r − 2),

que és la cota de Drinfeld-Vladut per a q = 9.

Exemple 18 Com abans ens situem en el cas que el nombre d’elements del cos és un quadrat q = r^{2}. Considerem la torre de cossos sobre 𝔽_{q} definida recursivament pel polinomi

φ(X, Y) := (Y^{r} + Y)(X^{r−1} + 1) − X^{r}

o sigui que F_{n} := 𝔽_{q}[x_{0}, …, x_{n}] amb les relacions

x_{i+1}^{r} + x_{i+1} = \frac{x_{i}^{r}}{x_{i}^{r−1} + 1} per a 0 ≤ i ≤ n − 1,

que són recobriments d’Artin-Schreier.

Resultats clàssics de les extensions d’Artin-Schreier ens permeten provar que

V (F) = {Punts α de ℙ_{𝔽_{q}}^{1} | α = ∞ o bé α^{r} + α = 0}

i

S(F) = {Punts β a ℙ^{1}(𝔽_{q}) | β^{r} + β ≠ 0}.

Així tenim que

#V (F) = r + 1 i #S(F) = q − r = r^{2} − r.

Un càlcul molt laboriós degut a la ramificació salvatge fet a [Gar-Sti] demostra que

d_{n}(P) ≤ 2[F_{n} : F_{0}]

per a tot P ∈ V (F). Tenim per tant que

N(F) ≥ #S[F_{n} : F_{0}] = (r^{2} − r)[F_{n} : F_{0}]

g(F_{n}) − 1 ≤ [F_{n} : F_{0}](−1) + \frac{1}{2}( ∑_{P ∈V (F)} d_{n}(P)) ≤ [F_{n} : F_{0}](#V − 1) = r[F_{n} : F_{0}]

d’on obtenim finalment que

lim_{i→∞} N(F_{i})/g(F_{i}) = \frac{r^{2} − r}{r} = r − 1

i per tant és una torre asimptòticament òptima.

Exemple 19 Finalment inclourem un exemple molt senzill en el cas que q = p^{2}, amb p ≠ 2. Considerem la torre de cossos sobre 𝔽_{q} definida recursivament pel polinomi

φ(X, Y) := 2XY^{2} − X^{2} − 1.

És clar que la torre és moderadament ramificada i verifica que

V (F) = { 0 , ∞ , ±1 , ±i }

(on i denota una arrel quadrada de −1), i hi ha exactament 2(p − 1) places racionals que descomponen totalment. Obtenim així del lema 14 que

λ(F) ≥ \frac{4(p − 1)}{6 − 2} = p − 1

i per tant F és asimptòticament òptima.

Bibliografia

[Gar-Sti] A. García and H. Stichtenoth, On the asymptotic behaviour of some tower of function fields over finite fields, J. Number Theory, 61 (1996), 248–273.

[Sch] R. Schoof, Algebraic curves and coding theory, UTM, 336, Univ. Trento, 1990.

[Ste] S. A. Stepanov, Codes on Algebraic Curves, Kluwer Academic, 1999.

[Sti] H. Stichtenoth, Algebraic Function Fields and Codes, Universitext, Springer-Verlag, 1993.

[Sti] H. Stichtenoth, Explicit Constructions of Towers of Function Fields with Many Rational Places, Proceedings of the 3ecm, 2000.

[vdG] G. van der Geer, Curves over Finite Fields and Codes, Proceedings of the 3ecm, 2000.

Xavier Xarles Departament de Matemàtiques Universitat Autònoma de Barcelona 08193 Bellaterra, Barcelona, Spain e-mail: xarles@mat.uab.es