TEOREMA: En una esfera de dimensió 4p+1 no existeix cap sistema de 2 camps vectorials tangents continus sense singularitats, ortogonals en cada punt. Consegüentment, les esferes de dimensió 4p+1 no són paral·lelitzables.
Aquest resultat fou publicat per B. Eckmann a l'article Systeme von Richtungsfeldern in Sphären und stetige Lösungen komplexer linearer Gleichungen [Sistemes de camps vectorials tangents sobre les esferes i solucions contínues d'equacions lineals complexes], Comment. Math. Helv. 15 (1942/43), 1-26, del qual reproduïm la primera pàgina.
L'existència o no de camps vectorials continus sense singularitats sobre les esferes fou resolta al 1912 per Luitzen E. J. Brouwer, utilitzant les tècniques que ell havia introduït del grau d'una aplicació. Demostrà que no n'existeixen sobre les esferes de dimensió parell, essent evident que sí sobre les de dimensió senar.
En aquesta línia el pas següent fou estudiar l'existència de sistemes de 2 camps vectorials tangents continus sense singularitats, ortogonals en cada punt, molt vinculat al de l'existència d'esferes paral·lelitzables.
La resposta és negativa per a esferes de dimensió parell, i Eduard Stiefel, deixeble de Hopf, demostrà l'any 1935 que és positiva per a les esferes de dimensió 4p-1. En el mateix treball, demostrava que les esferes de dimensió 1, 3 i 7 són paral·lelitzables.
Mentre que en els resultats de Brouwer esmentats s'utilitzen les tècniques de topologia algebraica clàssica, Stiefel ja fa servir la teoria d'homologia i Eckmann, deixeble de Hopf i company de Stiefel, utilitza per primer cop la recent teoria d'homotopia per demostrar el nostre teorema.
L'estudi dels sistemes de camps vectorials tangents ortogonals 2 a 2 en cada punt i el de les esferes paral·lelitzables foren temes actius de recerca amb tècniques cada cop més sofisticades.
L'estudi de l'invariant de Hopf 1, mitjançant teoria d'homotopia i teoria K, en el qual Eckmann hi contribuí, portaren a mitjan els anys 60 a demostrar que les esferes de dimensió 1, 3 i 7 són les úniques paral·lelitzables.
Aquest resultat de Hilbert, molts anys posterior a l'època dels fundadors de la geometria hiperbòlica Lobatxevski i J. Bolyai (a l'ombra de Gauss), explica perquè aquesta geometria va ser tan difícil de descobrir: estava ben amagada.
BREU NOTA BIOGRÀFICA:
Beno Eckmann va néixer a Bern, Suïssa, el 31 de març de 1917 i va morir el 25 de novembre de 2008 a Zürich.
Doctorat a l'Eidgenössische Technische Hochschule de Zürich (ETHZ), sota la direcció de Heinz Hopf, el 1941, fou professor a la Université de Lausanne de 1942 a 1948, on treballà amb Georges de Rahm, i posteriorment professor a l'ETHZ fins l'any 1984, que passà a la condició de professor emèrit, encara que restà plenament actiu durant més de 20 anys.
Durant aquests anys va dirigir 60 tesis doctorals i la seva descendència matemàtica passava l'any 2008 de 1.000 persones de tot el món i de diverses àrees de les matemàtiques. D'aquests, 35 estan vinculats d'una manera directa amb la UAB arran de l'estada de Manuel Castellet a l'ETHZ, on realitzà la seva tesi doctoral amb Beno Eckmann l'any 1973. Consulteu http://www.math.ethz.ch/~eckmann/Stammbaum.ps o http://manuel.castellet.cat.
L'any 1964 creà el Forschungsinstitut für Mathematik (FIM), un institut de recerca per a investigadors visitants pioner en la seva concepció, que ha estat punt de referència de la recerca matemàtica durant anys. Aquest mateix model fou el que s'adoptà a Catalunya quan l'any 1984 es creà el Centre de Recerca Matemàtica.
Editor de diverses revistes de recerca i sèries de llibres, entre les quals cal destacar Lecture Notes in Mathematics, de l'editorial Springer, de la qual fou el propulsor i primer editor juntament amb Albrecht Dold.
Càrrecs i reconeixements:
Secretari de la Unió Matemàtica Internacional (1956-1961). Conferenciant plenari al Congrés Internacional de Matemàtics (1962). Director del Forschungsinstitut für Mathematik (1964-1984). Doctor honoris causa per les universitats de Fribourg (1964), EPF Lausanne (1969), Israel Institut of Technology (1983), Ben Gurion University (2004). Membre del Consell Científic de la Swiss National Science Foundation (1973-1984). President d'Honor del Congrés Internacional de Matemàtics, Zürich (1994).
Manuel Castellet - Departament de Matemàtiques - Abril 2009