{"id":1115,"date":"2016-05-05T23:11:58","date_gmt":"2016-05-05T23:11:58","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.uab.cat\/arselectionis\/?page_id=1115"},"modified":"2023-09-02T09:26:03","modified_gmt":"2023-09-02T07:26:03","slug":"el-metode-de-phragmen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/?page_id=1115","title":{"rendered":"El m\u00e8tode de Phragm\u00e9n"},"content":{"rendered":"

A finals del segle XIX el matem\u00e0tic suec Edvard Phragm\u00e9n va introduir diversos m\u00e8todes de representaci\u00f3 proporcional sense partits. Aquests m\u00e8todes s\u00f3n bastant menys coneguts que el vot \u00fanic transferible<\/a>. Per\u00f2 a difer\u00e8ncia d’ell, tenen la virtut de ser consistents amb les variacions dels vots a favor d\u2019un candidat!<\/p>\n

<\/p>\n

Edvard Phragm\u00e9n (1863-1937)<\/p>\n

Versi\u00f3 basada en el vot d’aprovaci\u00f3<\/h4>\n

La versi\u00f3 b\u00e0sica del m\u00e8tode de Phragm\u00e9n no utilitza el vot preferencial sin\u00f3 el vot d\u2019aprovaci\u00f3<\/strong>: cada elector indica solament quins candidats considera acceptables per a representar el seu punt de vista, sense ordenar-los per ordre de prefer\u00e8ncia.<\/p>\n

Els escons es van assignant un a un segons un criteri que procura que la representaci\u00f3 dels electors a trav\u00e9s dels diputats quedi el m\u00e9s repartida possible. Per fer-ho aix\u00ed, es porta compte de la quantitat de representaci\u00f3 que va obtenint cada elector i cada vegada que s\u2019escull un nou diputat es mira que els electors m\u00e9s afavorits ho siguin com menys millor.<\/p>\n

En general, els c\u00e0lculs conv\u00e9 programar-los mitjan\u00e7ant un ordinador (tot i que s\u00f3n m\u00e9s elementals que en les formes m\u00e9s elaborades del vot \u00fanic transferible). Tanmateix, per acabar d\u2019entendre\u2019n la idea, no estar\u00e0 de m\u00e9s veure\u2019n els detalls en un cas concret.<\/p>\n

Exemple<\/h4>\n

Suposem, per exemple, que els vots fossin els mateixos de m\u00e9s amunt per\u00f2 sense prefer\u00e8ncies, \u00e9s a dir:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
43<\/span><\/td>\na<\/i> b<\/i><\/span><\/td>\n<\/tr>\n
21<\/span><\/td>\nb<\/i><\/span><\/td>\n<\/tr>\n
20<\/span><\/td>\nc<\/i> b<\/i><\/span><\/td>\n<\/tr>\n
2<\/span><\/td>\nd<\/i> b<\/i><\/span><\/td>\n<\/tr>\n
19<\/span><\/td>\nd<\/i> c<\/i><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

de manera que hi ha 43 electors que aproven els candidats a<\/i> i b<\/i>, 21 que nom\u00e9s aproven b<\/i>, etc\u00e8tera.<\/p>\n

D\u2019acord amb el seu objectiu de repartir la representaci\u00f3 tot el que es pugui, el m\u00e8tode de Phragm\u00e9n sempre assigna el primer esc\u00f3 al candidat m\u00e9s aprovat, que en aquest cas \u00e9s b<\/i>, amb 43+21+20+2 = 86 vots. La representaci\u00f3 que proporciona aquest candidat es reparteix per igual entre els 86 electors que l\u2019han aprovat, de manera que cadascun d\u2019ells obt\u00e9 una representaci\u00f3 de 1\/86 = 0,0116 escons.<\/p>\n

Considerem ara el segon esc\u00f3. Si el don\u00e9ssim al candidat a<\/i>, llavors resultarien beneficiats els 43 primers electors. Per\u00f2 cadascun d\u2019ells ja t\u00e9 1\/86 escons a trav\u00e9s de b<\/i>, de manera que en total tindria 1\/86 + 1\/43 = 0.0349 escons.<\/p>\n

Anem a veure qu\u00e8 passa si donem el segon esc\u00f3 al candidat c<\/i>. Aquest t\u00e9 20+19 = 39 aprovacions. Si el distribu\u00edssim per igual entre tots els electors que l\u2019han aprovat, els electors \u201ccd<\/i>\u201d obtindrien una representaci\u00f3 de 1\/39 = 0.0256 escons, mentre que els electors \u201cab<\/i>\u201d i els \u201cbc<\/i>\u201d, que ja tenen representaci\u00f3 a trav\u00e9s de b<\/i>, acumularien cadascun una representaci\u00f3 de 1\/86 + 1\/39 = 0.0373 escons. Una altra possibilitat seria que el candidat c<\/i> representi nom\u00e9s als electors que encara no tenen representaci\u00f3; per\u00f2 llavors cadascun d\u2019aquests obt\u00e9 una representaci\u00f3 de 1\/19 = 0.0526 escons, que constitueix un privilegi encara superior al (de 0.0373 escons) que s\u2019obtenia amb una distribuci\u00f3 uniforme. Davant d\u2019aix\u00f2, el m\u00e8tode de Phragm\u00e9n utilitza una opci\u00f3 intermitja en la qual la representaci\u00f3 que proporciona c<\/i> s\u2019assigna majorment als electors que han aprovat aquest candidat i encara no tenien representaci\u00f3, per\u00f2 tamb\u00e9 n\u2019assigna una part als que ja en tenien, de manera que els 39 electors que han aprovat c<\/i> obtinguin tots ells exactament el mateix valor. El c\u00e0lcul \u00e9s prou f\u00e0cil: com que n\u2019hi ha 20 que ja tenen cadascun d\u2019ells una representaci\u00f3 de 1\/86 escons i ara estem afegint 1 diputat, el valor com\u00fa que s\u2019obtindr\u00e0 \u00e9s de (20\/86 + 1) \/ 39 = 0.0316 escons.<\/p>\n

Si en lloc de a<\/i> o c<\/i> considerem el candidat d<\/i>, llavors uns c\u00e0lculs an\u00e0legs mostren que en aquest cas els electors m\u00e9s afavorits obtenen cadascun (2\/86 + 1)\/21 = 0.0487 escons.<\/p>\n

Per tant, a l\u2019hora de triar a quin candidat s\u2019assigna el segon esc\u00f3, l\u2019opci\u00f3 que minimitza l\u2019avantatge dels electors m\u00e9s afavorits \u00e9s el candidat c<\/i>.<\/p>\n

Despr\u00e9s d\u2019aix\u00f2, els electors queden representats de la manera que mostra la taula seg\u00fcent, on cada casella de la part central es refereix a un determinat tipus d\u2019electors i a un candidat concret. El valor que hi apareix \u00e9s la fracci\u00f3 d\u2019aquest candidat que correspon a cada elector del tipus que s\u2019est\u00e0 considerant. Sumant aquestes fraccions de candidat s\u2019obt\u00e9 la quantitat total de representaci\u00f3 que obt\u00e9 cada elector (d\u2019aquell tipus), la qual es mostra a la dreta en la columna \u201crtpe\u201d (representaci\u00f3 total per elector). La fila inferior \u00e9s el resultat de considerar tots els electors, per a la qual cosa es t\u00e9 en compte la quantitat que n\u2019hi ha de cada tipus. Aix\u00ed, en la columna corresponent al candidat c<\/i> hi apareix 20 \u00d7 0,0200 + 19 \u00d7 0.0316 = 1, que constitueix una comprovaci\u00f3 que les fraccions en qu\u00e8 hem dividit el candidat c<\/i> totalitzen efectivament 1 esc\u00f3.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
<\/td>\nquants<\/th>\na<\/i><\/th>\nb<\/i><\/th>\nc<\/i><\/th>\nd<\/i><\/th>\ne<\/i><\/th>\nrtpe<\/th>\n<\/tr>\n
electors \u201cab<\/i>\u201d<\/th>\n43<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n0.0116<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n0.0116<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
electors \u201cb<\/i>\u201d<\/th>\n21<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n0.0116<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n0.0116<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
electors \u201cbc<\/i>\u201d<\/th>\n20<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n0.0116<\/span><\/td>\n0.0200<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n0.0316<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
electors \u201cbd<\/i>\u201d<\/th>\n2<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n0.0116<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n0.0116<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
electors \u201ccd<\/i>\u201d<\/th>\n19<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n0.0316<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n0.0316<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
total<\/th>\n105<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n1<\/span><\/td>\n1<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n2<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Taula\u00a01<\/p>\n

Si hi haguessin m\u00e9s escons a repartir \u2014com no podria ser d\u2019una altra manera si volguessim acostar-nos m\u00e9s a una representaci\u00f3 proporcional\u2014 es repetiria el mateix procediment fins arribar al nombre de diputats que s\u2019hagu\u00e9s establert (naturalment, hi hauria m\u00e9s candidats i m\u00e9s tipus de vots).<\/p>\n

Consist\u00e8ncia ordinal<\/h4>\n

Amb el m\u00e8tode de Phragm\u00e9n est\u00e0 garantit que si els vots varien en el sentit d\u2019afegir aprovacions a favor d\u2019un determinat candidat (sense modificar en cap manera les aprovacions dels altres) i aquest candidat resultava elegit abans de la variaci\u00f3, llavors tamb\u00e9 resulta elegit despr\u00e9s de la variaci\u00f3. Phragm\u00e9n donava molt d\u2019import\u00e0ncia a aquesta propietat (tot i que no sembla que fos conscient de les mancances del vot \u00fanic transferible en aquest sentit).<\/p>\n

On est\u00e0 la proporcionalitat?<\/h4>\n

En el fons, una proporcionalitat no \u00e9s m\u00e9s que una igualtat. En el present context, les quantitats que haurien de ser iguals son les fraccions de parlament que s\u00f3n assignades als diferents electors per donar-los representaci\u00f3, \u00e9s a dir, les quantitats que apareixen a la dreta de la taula\u00a01. Tanmateix, en general aquestes quantitats no poden ser exactament iguals, de manera que ens hem de contentar que siguin \u201cel m\u00e9s iguals possible\u201d en algun sentit que cal concretar (ja que s\u00f3n possibles diverses interpretacions, com en el cas de llistes tancades<\/a>).<\/p>\n

El m\u00e8tode de Phragm\u00e9n ho concreta ben b\u00e9 com la regla de D\u2019Hondt<\/a> en la seva formulaci\u00f3 seq\u00fcencial: Els escons s\u2019assignen un despr\u00e9s de l\u2019altre i cada assignaci\u00f3 es fa amb el criteri de minimitzar la representaci\u00f3 dels electors m\u00e9s afavorits. Tal com hem vist, la difer\u00e8ncia respecte al cas de llistes tancades \u00e9s que el repartiment d\u2019un candidat entre els electors que l\u2019han aprovat no \u00e9s sempre homogeni, sin\u00f3 que es t\u00e9 en compte la diferent representaci\u00f3 que ja puguin tenir aquests electors.<\/p>\n

Com es pot veure en la taula\u00a01, les representacions que obtenen els electors no s\u00f3n pas iguals: hi ha 43+21+2 = 66 electors que obtenen 0,0116 escons cadascun, i 20+19 = 39 electors que n\u2019obtenen 0,0316. Tanmateix, aix\u00f2 \u00e9s el millor que es pot aconseguir amb dos diputats i el criteri que hem dit. Per poder acostar-se m\u00e9s a la proporcionalitat no hi ha m\u00e9s remei que disposar de m\u00e9s escons (i m\u00e9s candidats).<\/p>\n

Casos especials<\/h4>\n

D’acord amb el que hem dit, en el cas de llistes tancades el m\u00e8tode de Phragm\u00e9n es redueix a la regla de D\u2019Hondt<\/a>.
\n<\/p>\n

Tamb\u00e9 \u00e9s interessant observar que en el cas extrem (totalment allunyat de la representaci\u00f3 proporcional) de voler elegir un sol representant \u2014com ara un president\u2014 el m\u00e8tode de Phragm\u00e9n es redueix a l\u2019aplicaci\u00f3 habitual del vot d\u2019aprovaci\u00f3: cada elector indica tots els candidats que li semblen acceptables i s\u2019elegeix el que apareix m\u00e9s vegades. Aquest procediment \u00e9s molt atractiu en comparaci\u00f3 amb la utilitzaci\u00f3 del vot uninominal, en qu\u00e8 cada elector no pot donar m\u00e9s que un sol nom.<\/p>\n

Variant preferencial<\/h4>\n

A m\u00e9s del procediment que hem descrit, Phragm\u00e9n va estudiar diverses variants for\u00e7a interessants. De totes elles, l\u2019\u00fanica que s\u2019ha posat en pr\u00e0ctica \u00e9s una variant que usa el vot preferencial. A\u00a0difer\u00e8ncia del vot \u00fanic transferible, aquesta variant compleix la condici\u00f3 de consist\u00e8ncia ordinal: un candidat no deixa mai de ser elegit a conseq\u00fc\u00e8ncia de que alguns electors l\u2019hagin despla\u00e7at a posicions m\u00e9s preferents.<\/p>\n

Aix\u00f2 s\u2019aconsegueix a costa de cedir en altres aspectes. Per exemple, en el cas extrem de voler elegir un sol representant (i renunciar per tant a cap proporcionalitat) aquesta variant elegeix sempre el candidat m\u00e9s votat com a primera opci\u00f3, independentment de si se supera o no cap quota predeterminada.<\/p>\n

Aquesta variant preferencial forma part del sistema electoral suec des de 1921. Tanmateix, est\u00e0 molt desvirtuada pel fet que les llistes no s\u00f3n totalment obertes, sin\u00f3 que cada elector ha de restringir la seva llista a una sola candidatura de partit.<\/p>\n

\n

Refer\u00e8ncies<\/h4>\n

X. Mora, M. Oliver, 2015. Eleccions mitjan\u00e7ant el vot d’aprovaci\u00f3: El m\u00e8tode de Phragm\u00e9n i algunes variants. Butllet\u00ed de la Societat Catalana de Matem\u00e0tiques<\/i>, vol.\u00a030, p.\u00a057\u2013101 (enlla\u00e7<\/a>)<\/small><\/p>\n

\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

A finals del segle XIX el matem\u00e0tic suec Edvard Phragm\u00e9n va introduir diversos m\u00e8todes de representaci\u00f3 proporcional sense partits. Aquests m\u00e8todes s\u00f3n bastant menys coneguts que el vot \u00fanic transferible. Per\u00f2 a difer\u00e8ncia d’ell, tenen la virtut de ser consistents amb les variacions dels vots a favor d\u2019un candidat! Edvard Phragm\u00e9n (1863-1937) Versi\u00f3 basada en el vot d’aprovaci\u00f3 La versi\u00f3 b\u00e0sica del m\u00e8tode de Phragm\u00e9n no utilitza el vot preferencial sin\u00f3 el vot.. Llegir m\u00e9s<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":42,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-1115","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/1115","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/42"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=1115"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/1115\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3149,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/1115\/revisions\/3149"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=1115"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}