{"id":951,"date":"2016-03-03T15:33:00","date_gmt":"2016-03-03T15:33:00","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.uab.cat\/arselectionis\/?page_id=951"},"modified":"2025-01-16T18:23:32","modified_gmt":"2025-01-16T16:23:32","slug":"detalls-tecnics-del-repartiment-proporcional","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/?page_id=951","title":{"rendered":"Detalls matem\u00e0tics del repartiment proporcional"},"content":{"rendered":"<p>Aquesta p\u00e0gina cont\u00e9 aclariments t\u00e8cnics i desenvolupaments complementaris de l&#8217;entrada <a href=\"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/?p=212\">Repartir escons &#8220;proporcionalment&#8221;<\/a>.<\/p>\n<h4>Aproximacions a la proporcionalitat en el repartiment d&#8217;escons.<\/h4>\n<p>El problema consisteix en com assignar \\(n\\) escons a candidatures (circumscripcions) a partir de \\(w\\) vots (la seva poblaci\u00f3).<\/p>\n<p>Suposem que cada candidatura \\(i\\) ha rebut \\(w_i\\) vots i que en el repartiment li assignem \\(n_i\\) escons, que compleixen<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">\\(n_1+n_2+\\dots =n.\\)<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">\\(w_1+w_2+\\dots =w.\\)<\/p>\n<p>L&#8217;ideal seria que els \\(n\\) escons es repartissin de manera del tot proporcional, \u00e9s a dir, que cada elector tingu\u00e9s representaci\u00f3 \\(n\/w\\) (podem veure-ho com que repartim trocets d&#8217;esc\u00f3 a parts iguals).<\/p>\n<ul>\n<li>Els votants de la candidatura \\(i\\) tenen representaci\u00f3 \\({n_i}\/{w_i}\\). Dir que tots els votants tinguin la mateixa representaci\u00f3, independentment del partit que hagin votat \u00e9s:\n<p style=\"text-align: center\">\\(\\frac n w =\\frac{n_1}{w_1}=\\frac{n_2}{w_2}=\\dots\\)<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>Si aix\u00f2 no \u00e9s possible, cal que les difer\u00e8ncies entre electors siguin m\u00ednimes. En quin sentit?<\/p>\n<ul>\n<li>La regla de d&#8217;Hondt t\u00e9 el criteri de procurar que la representaci\u00f3 m\u00e9s alta, entre les diverses representacions que tenen els electors, sigui el m\u00e9s petita possible (no es preocupa, per exemple, de la representaci\u00f3 m\u00e9s baixa). \u00c9s a dir, es busquen nombres d&#8217;escons \\(n_i\\) que facin\u00a0m\u00ednima la quantitat:\n<p style=\"text-align: center\">\\(\\max\\frac{n_i}{w_i}\\)<\/p>\n<p>Observem que resulta equivalent assignar els escons amb el criteri que hem explicat a <a href=\"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/?p=212\">Repartir escons &#8220;proporcionalment&#8221;<\/a>, de maximitzar el preu m\u00ednim que paguen els partits per esc\u00f3, \u00e9s a dir maximitzar<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">\\(\\min\\frac{w_i}{n_i}.\\)<\/p>\n<\/li>\n<li>La regla de Sainte-Lagu\u00eb, en canvi, s\u00ed que es preocupa de que siguin el m\u00e9s petites possible les difer\u00e8ncies de representaci\u00f3 que tenen els electors entre si; concretament, que la vari\u00e0ncia de les representacions sigui m\u00ednima. Es busquen, per tant, escons \\(n_i\\) que facin m\u00ednima\n<p style=\"text-align: center\">\\(\\sum_{i} w_i \\left(\\frac{n_i}{w_i}-\\frac{n}{w}\\right)^2.\\)<\/p>\n<p>Veurem m\u00e9s endavant que, equivalentment, la regla de Sainte-Lagu\u00eb minimitza la suma de les difer\u00e8ncies de representaci\u00f3 entre els electors al quadrat.<\/li>\n<li>La regla d&#8217;Adams procura que sigui m\u00e0xima la representaci\u00f3 m\u00ednima dels electors. Se sol utilitzar m\u00e9s aviat per assignar escons a circumscripcions segons poblaci\u00f3. La regla distribueix escons \\(n_i\\) de manera que sigui m\u00e0xima la quantitat:\n<p style=\"text-align: center\">\\(\\min\\frac{n_i}{w_i}.\\)<\/p>\n<p>Si s&#8217;utilitza per assignar escons a candidatures a partir dels vots que han rebut, la regla d&#8217;Adams procura que tots els partits que han rebut almenys un vot tinguin un esc\u00f3 com a m\u00ednim, i ho fa sempre que no hi hagi m\u00e9s partits votats que escons. En cas que no sigui aix\u00ed, s&#8217;assigna un esc\u00f3 als \\(n\\) partits m\u00e9s votats.<\/li>\n<\/ul>\n<h4 id=\"sainte-lague-minims-quadrats\">La regla de Sainte-Lagu\u00eb, procediment d&#8217;assignaci\u00f3 d&#8217;escons.<\/h4>\n<p>Anem ara a justificar que l&#8217;algorisme que hem explicat a l&#8217;entrada de <a href=\"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/?p=212?preview_id=212&amp;preview_nonce=8ed236db29&amp;post_format=standard&amp;preview=true\">repartiment proporcional <\/a>d\u00f3na una assignaci\u00f3 d&#8217;escons \\(n_i\\) que minimitza la quantitat:<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">\\(h=\\sum_{i} w_i \\left(\\frac{n_i}{w_i}-\\frac{n}{w}\\right)^2.\\)<\/p>\n<p>&#8211; Es pot demostrar que minimitzar \\(h\\) equival a minimitzar qualsevol de les expressions seg\u00fcents:<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">\\(f=\\sum_{i,j} w_i w_j\\left(\\frac{n_i}{w_i}-\\frac{n_j}{w_j}\\right)^2,\\qquad\\qquad g=\\sum_{i} \\frac{n_i^2}{w_i}.\\)<\/p>\n<p>Aix\u00f2 \u00e9s degut a que la vari\u00e0ncia de la variable que pren valors \\(\\frac{n_i}{w_i}\\) \u00e9s<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">\\(\\frac 1 {w}\\sum_{i} w_i \\left(\\frac{n_i}{w_i}-\\frac{n}{w}\\right)^2=\\left(\\frac{1}{w}\\sum_i w_i \\frac{n_i^2}{w_i^2} \\right)- \\frac{n^2}{w^2}\\)<\/p>\n<p>i que per altra banda<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">\\(\\frac 1 {2w^2} \\sum_{i,j} w_i w_j\\left(\\frac{n_i}{w_i}-\\frac{n_j}{w_j}\\right)^2= \\left(\\frac{1}{w}\\sum_i w_i \\frac{n_i^2}{w_i^2} \\right)- \\frac{n^2}{w^2}.\\)<\/p>\n<p>El que interessa, doncs, \u00e9s mirar de minimitzar<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">\\(p= \\sum_{i} \\frac{n_i^2}{w_i}.\\)<\/p>\n<p>&#8211; Hi ha en matem\u00e0tiques una f\u00f3rmula prou coneguda, la que ens d\u00f3na la suma dels \\(k\\) primers senars:<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">\\(k^2= 1+3+5+\\dots + (2k-1).\\)<\/p>\n<p>La utilitzarem per desenvolupar l&#8217;expressi\u00f3 \\(p\\):<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">\\(\\begin{align}p=&amp;\\sum_i\\frac{n_i^2}{w_i}=\\sum_i\\left(\\frac{1+3+5+\\dots+(2n_i-1)}{w_i}\\right)\\cr&amp;=\\sum_i\\left(\\frac{1}{w_i}+\\frac{3} {w_i}+\\frac 5 {w_i}+\\dots+\\frac {2n_i-1}{w_i}\\right)\\end{align}\\)<\/p>\n<p>&#8211; Per minimitzar \\(p\\) cal anar afegint els n\u00fameros \\(\\frac{t}{w_i}\\), amb \\(t \\) un n\u00famero senar, fins tenir-ne \\(n\\), comen\u00e7ant, per a cada \\(i\\), per afegir \\(\\frac{1}{w_i}\\), despr\u00e9s \\(\\frac{3}{w_i}\\), etc. Si imaginem que formem una taula amb tantes columnes com candidatures, on col\u00b7loquem, a la columna de la candidatura \\(i\\), els quocients \\(\\frac{t}{w_i}\\) comen\u00e7ant per \\(t=1\\), els n\u00fameros de la columna creixen de dalt a baix. Per tant, per minimitzar \\(p\\) cal agafar\u00a0\\(n\\) n\u00fameros de la taula el m\u00e9s baixos possible.<!--, comen\u00e7ant per dalt cada columna.--> Fixem-nos que agafar els\u00a0\\(n\\) n\u00fameros m\u00e9s petits dels\u00a0\\(\\frac{t}{w_i}\\) equival a agafar els\u00a0\\(n\\) m\u00e9s grans entre els n\u00fameros de la forma\u00a0\\(\\frac{w_i}{t}\\).<\/p>\n<p>Per fi hem arribat a l&#8217;algorisme d&#8217;assignaci\u00f3 d&#8217;escons de Sainte-Lagu\u00eb!\u00a0Posem les candidatures per columnes i anem dividint els seus vots pels n\u00fameros senars 1, 3, 5, 7, etc:<\/p>\n<table style=\"height: 149px\" width=\"100%\">\n<tbody>\n<tr>\n<th>candidatura 1<\/th>\n<th>candidatura 2<\/th>\n<th>candidatura 3<\/th>\n<th>candidatura 4<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e6faf5\">\\(w_1=460\\)<\/td>\n<td style=\"background-color: #e6faf5\">\\(w_2=400\\)<\/td>\n<td style=\"background-color: #e6faf5\">\\(w_3=300\\)<\/td>\n<td style=\"background-color: #e6faf5\">\\(w_4=130\\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e6faf5\">\\({w_1}\/{3}=153.3\\)<\/td>\n<td style=\"background-color: #e6faf5\">\\({w_2}\/{3}=133.3\\)<\/td>\n<td>\\({w_3}\/{3}=100\\)<\/td>\n<td>\\({w_4}\/{3}=43.3\\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\({w_1}\/{5}=92.0\\)<\/td>\n<td>\\({w_2}\/{5}=80.0\\)<\/td>\n<td>\\({w_3}\/{5}=60.0\\)<\/td>\n<td>\\({w_4}\/{5}=26.0\\)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(\\dots\\)<\/td>\n<td>\\(\\dots\\)<\/td>\n<td>\\(\\dots\\)<\/td>\n<td>\\(\\dots\\)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Ara agafem els \\(n\\) n\u00fameros m\u00e9s grans d&#8217;aquesta taula i assignem escons com a la regla de D&#8217;Hondt. Observem que l&#8217;assignaci\u00f3 d&#8217;escons seria la mateixa si hagu\u00e9ssim dividit per 1\/2, 3\/2, 5\/2, 7\/2, etc.<\/p>\n<h4 id=\"sainte-lague-divisor\">El divisor de la regla de Sainte-Lagu\u00eb (c\u00e0lcul del divisor i repartiment d&#8217;escons a partir d&#8217;aquest)<\/h4>\n<p>Un divisor s&#8217;obt\u00e9 multiplicant per 2 els n\u00fameros de la taula anterior i agafant el darrer dels que corresponen a escons assignats, que \u00e9s 260. Equivalentment agafem el n\u00famero de la taula corresponent a dividir els vots per 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, etc.:<\/p>\n<table width=\"100%\">\n<tbody>\n<tr>\n<th style=\"text-align: left\">candidatura 1<\/th>\n<th style=\"text-align: left\">candidatura 2<\/th>\n<th style=\"text-align: left\">candidatura 3<\/th>\n<th style=\"text-align: left\">candidatura 4<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e6faf5;text-align: left\">460\/0.5 = 920<\/td>\n<td style=\"background-color: #e6faf5;text-align: left\">400\/0.5 = 800<\/td>\n<td style=\"background-color: #e6faf5\">300\/0.5 = 600<\/td>\n<td style=\"background-color: #ff9999\">130\/0.5 = 260<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #e6faf5;text-align: left\">460\/1.5 = 306.7<\/td>\n<td style=\"background-color: #e6faf5\">400\/1.5 = 266.7<\/td>\n<td>300\/1.5 = 200<\/td>\n<td>130\/1.5 = 86.7<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>460\/2.5 = 184<\/td>\n<td>400\/2.5 = 160<\/td>\n<td>300\/2.5 = 120<\/td>\n<td>130\/2.5 = 52<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>460\/3.5 = 131.4<\/td>\n<td>400\/3.5 = 114.3<\/td>\n<td>300\/3.5 = 85.7<\/td>\n<td>130\/3.5 = 37.1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center\">\\(\\boxed{\\,d=260\\,}.\\)<\/p>\n<p>Fixem-nos per exemple que, per la manera com hem calculat \\(d\\), es compleix<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">\\(\\frac{w_1}{2.5} &lt; d &lt;\\frac{w_1}{1.5}\\)<\/p>\n<p>que equival a<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">\\(1.5 &lt; \\frac{w_1}{d} &lt; 2.5\\)<\/p>\n<p>\u00e9s a dir, que l&#8217;arrodoniment de \\(\\frac{w_1}{d}\\) \u00e9s 2 (cal dir que si hi haguessin empats les desigualtats potser no serien totes estrictes).<\/p>\n<p>Una cosa semblant succeeix amb la resta d&#8217;escons que hem assignat. Per exemple:<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">\\(\\frac{w_4}{1.5} \\le d &lt; \\frac{w_4}{0.5} \\Longleftrightarrow 0.5 &lt; \\frac{w_4}{d} \\le 1.5\\)<\/p>\n<p>i per tant l&#8217;arrodoniment de \\(\\frac{w_4}{d}\\) \u00e9s 1.<\/p>\n<p>Hem vist doncs d&#8217;on prov\u00e9 un divisor i com es justifica l&#8217;assignaci\u00f3 d&#8217;escons a partir d&#8217;aquest divisor.<\/p>\n<h4 id=\"divisors\">Divisors de la regla de D&#8217;Hondt i de Sainte-Lagu\u00eb<\/h4>\n<p>A l&#8217;entrada <a href=\"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/?p=212\">Repartir escons &#8220;proporcionalment&#8221;<\/a> hem vist amb un exemple l&#8217;algorisme de repartiment d&#8217;escons per la regla de D&#8217;Hondt: fer una taula amb els vots de cada partit i anar-los dividint, successivament per 1,2,3, etc. I despr\u00e9s agafar els 6 m\u00e9s grans (es tractava de repartir 6 escons).\u00a0 El preu que pagava el partit que obtenia el darrer esc\u00f3 era 153.3 i aquest n\u00famero funcionava com a divisor.<\/p>\n<p>El divisor donava una manera alternativa de calcular els escons de cada partit: dividint el seu nombre de vots pel divisor i agafant la part entera. Per\u00f2 el n\u00famero 153.3 calculat, era l&#8217;\u00fanic n\u00famero que funcionava com a divisor en aquest sentit? Amb la taula dels quocients est\u00e0 clar que no, que si baix\u00e9ssim lleugerament 153.3, encara tindr\u00edem un divisor. De fet 150 seria el preu del set\u00e8 esc\u00f3, si en don\u00e9ssim 7, per tant mentre no arribem a 150, tindrem un divisor. A vegades s&#8217;agafa com a divisor la mitjana entre el preu del darrer esc\u00f3 assignat i el preu de l&#8217;esc\u00f3 seg\u00fcent si en don\u00e9ssim un m\u00e9s, en aquest cas (153.3+150)\/2.<\/p>\n<p>Amb la regla de Sainte-Lagu\u00eb succeeix el mateix. Podem donar com a divisor de Sainte-Lag\u00fce el n\u00famero que apareix en la taula quan s&#8217;assigna el darrer esc\u00f3, per\u00f2 tamb\u00e9 la mitjana entre aquest divisor i el que correspondria a assignar un esc\u00f3 m\u00e9s.<\/p>\n<hr \/>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Aquesta p\u00e0gina cont\u00e9 aclariments t\u00e8cnics i desenvolupaments complementaris de l&#8217;entrada Repartir escons &#8220;proporcionalment&#8221;. Aproximacions a la proporcionalitat en el repartiment d&#8217;escons. El problema consisteix en com assignar escons a candidatures (circumscripcions) a partir de vots (la seva poblaci\u00f3). Suposem que cada candidatura ha rebut vots i que en el repartiment li assignem escons, que compleixen L&#8217;ideal seria que els escons es repartissin de manera del tot proporcional, \u00e9s a dir, que cada elector.. <a class=\"read-more-link\" href=\"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/?page_id=951\">Llegir m\u00e9s<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":43,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-951","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/951","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/43"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=951"}],"version-history":[{"count":10,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/951\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3233,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/951\/revisions\/3233"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=951"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}