Com \u00e9s ben sabut, darrerament Catalunya s\u2019est\u00e0 plantejant la possibilitat d\u2019esdevenir un estat independent. Per tal de saber si els catalans ho volem realment aix\u00ed, convindria fer un refer\u00e8ndum. La pregunta m\u00e9s senzilla seria \u00f2bviament la seg\u00fcent:<\/p>\n
En altres paraules, aquesta pregunta demana de pronunciar-se per una de les dues opcions seg\u00fcents:<\/p>\n
Per\u00f2 el passat 12 de desembre de 2013 les formacions pol\u00edtiques favorables a consultar l\u2019opini\u00f3 dels catalans van pactar una pregunta una mica m\u00e9s complexa. Segons la corresponent nota de premsa de la Presid\u00e8ncia de la Generalitat de Catalunya, es tracta d\u2019\u2009\u201cuna pregunta amb dos apartats\u201d, a saber:<\/p>\n
Aquest plantejament equival a una pregunta amb un sol apartat per\u00f2 amb tres opcions de resposta:<\/p>\n
Concretament, l\u2019opci\u00f3\u00a0A correspon a respondre afirmativament als dos apartats de la pregunta\u00a02 (resposta \u201cs\u00ed-s\u00ed\u201d), l\u2019opci\u00f3\u00a0B correspon a respondre afirmativament al primer apartat i negativament al segon (resposta \u201cs\u00ed-no\u201d), i l\u2019opci\u00f3\u00a0C correspon a respondre negativament al primer apartat (resposta \u201cno\u201d). Aix\u00ed doncs, l\u2019\u00fanica difer\u00e8ncia respecte al plantejament de la pregunta\u00a01 \u00e9s que l\u2019opci\u00f3\u00a0N est\u00e0 dividida en dues parts, B i C.<\/p>\n
El problema \u00e9s que quan es plantegen m\u00e9s de dues opcions de vegades no est\u00e0 gens clar quina \u00e9s la decisi\u00f3 col\u00b7lectiva m\u00e9s encertada. En particular, si cada individu es limita a indicar la seva opci\u00f3 m\u00e9s preferida, aleshores l\u2019opci\u00f3 m\u00e9s votada pot ser al mateix temps la m\u00e9s indesitjada. Per exemple, si tenim tres opcions A, B, C, que obtenen respectivament el 40%, 25%, 35% dels vots, podria ser que els votants que es pronuncien per B i els que es pronuncien per C, que totalitzen un 60%, estiguessin tots ells d\u2019acord que l\u2019opci\u00f3 A \u00e9s la pitjor possible. Dit d\u2019una altra manera, si es planteg\u00e9s una votaci\u00f3 entre A i no-A, aleshores podria guanyar no-A. Per tant, el procediment d\u2019elegir l\u2019opci\u00f3 m\u00e9s votada pot donar resultats realment inadequats.<\/p>\n
D\u2019aquest problema en parlaven ja els autors grecs i llatins de l\u2019antiguitat. Alguns d\u2019ells deixen const\u00e0ncia de diversos casos reals del seu temps en qu\u00e8 tamb\u00e9 es va dubtar entre plantejar dues opcions o b\u00e9 dividir una d\u2019elles en dues parts i considerar per tant tres opcions. D\u2019una situaci\u00f3 semblant a la que hem assenyalat en el par\u00e0graf precedent en deien el problema dels set jutges<\/em> (que haurien donat a A, B, C respectivament 3, 2, 2 vots) i aquest problema l\u2019arriben a qualificar d\u2019\u2009\u201cinsoluble\u201d. Entre els autors que van parlar d\u2019aquestes coses hi ha Polibi, Cicer\u00f3, Quintili\u00e0, Plini el Jove, Gel\u00b7li i Heliodor d\u2019Emesa.<\/p>\n Per suposat, el problema desapareix quan una de les opcions aconsegueix una majoria absoluta, \u00e9s a dir, un nombre de vots superior al 50%. Per\u00f2 tot sovint no ser\u00e0 aquest el cas, de manera que cal un criteri m\u00e9s general.<\/p>\n D\u2019aquesta q\u00fcesti\u00f3 se\u2019n van ocupar a l\u2019edat mitjana en Ramon Llull i en Nicolau de Cusa.[1]<\/a><\/sup><\/p>\n D\u2019entrada, \u00e9s obvi que per poder resoldre el problema que hem apuntat cal que els votants donin m\u00e9s informaci\u00f3 que no solament la seva opci\u00f3 m\u00e9s preferida. En relaci\u00f3 amb aix\u00f2, en Ramon Llull proposava que els votants es pronunciessin sobre cada parella d\u2019alternatives. Una altra possibilitat, com proposava en Nicolau de Cusa, \u00e9s que cada votant expressi un ordre de prefer\u00e8ncia (que no \u00e9s m\u00e9s que una manera especial de pronunciar-se sobre cada parella d\u2019alternatives).<\/p>\n En qualsevol cas, una cosa \u00e9s la manera de votar i una altra la manera en qu\u00e8 es processaran els vots per tal d\u2019arribar a una decisi\u00f3 col\u00b7lectiva. Tot sovint s\u2019especifica la primera part per\u00f2 no la segona, com si la segona es dedu\u00eds autom\u00e0ticament de la primera. Per\u00f2 no \u00e9s pas aix\u00ed; amb m\u00e9s de dues opcions, en general hi ha diversos procediments raonables els quals poden donar resultats diferents.<\/em><\/p>\n Des del punt de vista de les comparacions o enfrontaments per parelles a l\u2019estil del Ramon Llull, el problema no \u00e9s tan diferent d\u2019una competici\u00f3 esportiva. Els competidors s\u00f3n aqu\u00ed les diverses opcions de les quals en volem escollir una. Donades dues opcions, X i Y, s\u2019ent\u00e9n que X guanya Y si els votants que prefereixen X a\u00a0Y superen en nombre als que prefereixen Y a\u00a0X. Fins i tot podem prendre la quantitat de votants que prefereixen X a Y com a mesura de l\u2019acceptaci\u00f3 que t\u00e9 X davant de Y. En general tamb\u00e9 hi pot haver empats, per\u00f2 aqu\u00ed farem cas om\u00eds d\u2019aquesta possibilitat per tal d\u2019anar al gra.<\/p>\n En un dels seus escrits, Llull proposava un procediment d\u2019eliminaci\u00f3 successiva: Comencem per dues opcions concretes, i mirem quina d\u2019elles guanya a l\u2019altra. La perdedora \u00e9s eliminada i la guanyadora passa a ser comparada amb una tercera opci\u00f3. Repetim aquesta operaci\u00f3 fins esgotar totes les opcions. La que resti al final \u00e9s declarada guanyadora de tota la competici\u00f3, que en el nostre cas correspon a dir que resulta adoptada com a decisi\u00f3 col\u00b7lectiva. El lector dif\u00edcilment se sorprendr\u00e0 si diem que en general el resultat final pot dependre de l\u2019ordre en qu\u00e8 siguin considerades les diverses opcions.<\/p>\n En altres escrits, Llull havia proposat un altre criteri m\u00e9s global que t\u00e9 en compte tots els enfrontaments per parelles: Aquesta proposta consisteix en adoptar com a decisi\u00f3 col\u00b7lectiva l\u2019opci\u00f3 que guanya un nombre m\u00e9s gran d\u2019alternatives. M\u00e9s concretament, Llull feia una taula de tots els enfrontaments, en cada cel\u00b7la marcava amb un punt l\u2019opci\u00f3 guanyadora, i despr\u00e9s comptava quants punts havia obtingut cada opci\u00f3. Com es pot veure, \u00e9s molt similar al que es fa per determinar el guanyador de la lliga de futbol.<\/p>\n En canvi, Nicolau de Cusa proposava un procediment que equival a adoptar com a decisi\u00f3 col\u00b7lectiva l\u2019opci\u00f3 que obt\u00e9 un valor m\u00e9s gran en sumar les quantitats de votants que prefereixen aquesta opci\u00f3 a cadascuna de les altres. En la lliga de futbol, seria similar a utilitzar la difer\u00e8ncia de gols com a criteri b\u00e0sic per determinar el campi\u00f3.<\/p>\n En el segle\u00a0XVIII, poc abans de la Revoluci\u00f3 Francesa, el procediment de Nicolau de Cusa va ser proposat de nou per Jean-Charles de Borda, i Condorcet va fer una contraproposta molt relacionada amb el criteri global de Ramon Llull.<\/p>\n Quan nom\u00e9s hi ha dues opcions, aquests procediments s\u00f3n tots ells equivalents. Tanmateix, amb m\u00e9s de dues opcions poden donar resultats diferents. Davant d\u2019aix\u00f2, s\u2019imposa de definir amb precisi\u00f3 quines propietats volem que tingui el procediment de decisi\u00f3 i d\u2019analitzar amb rigor els diferents procediments possibles per veure si les compleixen o no. Tot plegat d\u00f3na lloc a una disciplina que es coneix com a teoria de l\u2019elecci\u00f3 social<\/em>.[2]<\/a><\/sup><\/p>\n En particular, una de les condicions que conv\u00e9 demanar \u00e9s el seg\u00fcent principi de majoria<\/em>: Si una majoria absoluta de votants posen una mateixa opci\u00f3 en primer lloc, llavors aquesta opci\u00f3 ha de ser adoptada com a decisi\u00f3 col\u00b7lectiva. Aix\u00f2 porta a descartar el procediment de Cusa i Borda, ja que \u00e9s f\u00e0cil trobar exemples on incompleix aquesta condici\u00f3. En canvi, els dos procediments de Llull la compleixen sempre.<\/p>\n Hi ha situacions especials en qu\u00e8 el problema \u00e9s menys complicat. Segons com es miri, la pregunta\u00a02 es trobaria en una d\u2019aquestes situacions menys complicades. En efecte, \u00e9s bastant raonable creure que els partidaris de l\u2019opci\u00f3\u00a0A (estat independent) prefereixen B\u00a0(estat no independent) abans que C\u00a0(no estat); i que, similarment, els partidaris de\u00a0C prefereixen B abans que\u00a0A. En altres paraules, estem suposant que les prefer\u00e8ncies de cadasc\u00fa s\u00f3n sempre coherents amb l\u2019ordre A\u2009\u2013\u2009B\u2009\u2013\u2009C, el qual reflecteix el diferent grau d\u2019independentisme o unionisme de cada opci\u00f3.<\/p>\n Doncs b\u00e9, quan hi ha una coher\u00e8ncia d\u2019aquesta mena entre les prefer\u00e8ncies i un ordre concret \u2014en aquest cas A\u2009\u2013\u2009B\u2009\u2013\u2009C\u2014 aleshores el problema esdev\u00e9 m\u00e9s tractable. En efecte, aleshores els dos procediments de Llull donen sempre el mateix resultat (en particular, el resultat final del procediment d\u2019eliminaci\u00f3 successiva no dep\u00e8n de l\u2019ordre en qu\u00e8 es considerin les diferents opcions); a m\u00e9s, l\u2019opci\u00f3 que resulta escollida guanya aleshores a totes i cadascuna de les altres en els enfrontaments per parelles. Per ser exactes, aix\u00f2 val a condici\u00f3 que el nombre de votants sigui senar, la qual cosa evita certes possibilitats d\u2019empat; per simplificar l\u2019exposici\u00f3, en el que segueix mantindrem aquesta suposici\u00f3 d\u2019un nombre senar de votants.<\/p>\n D\u2019altra banda, sota la hip\u00f2tesi que estem considerant de coher\u00e8ncia de les prefer\u00e8ncies amb l\u2019ordre A\u2009\u2013\u2009B\u2009\u2013\u2009C, el resultat d\u2019aplicar els procediments de Llull tamb\u00e9 es pot obtenir f\u00e0cilment a partir de la llista que especifica simplement l\u2019opci\u00f3 m\u00e9s preferida de cada votant. Concretament, n\u2019hi ha prou amb arranjar aquesta llista en l\u2019ordre A\u2009\u2013\u2009B\u2009\u2013\u2009C; i seleccionar l\u2019opci\u00f3 que llavors ocupa la posici\u00f3 central, la qual opci\u00f3 es coneix com a mediana<\/em>. Per exemple, si hi hagu\u00e9s nom\u00e9s 7 votants i les seves opcions m\u00e9s preferides fossin respectivament A,C,B,A,C,A,A, aleshores la llista ordenada seria A,A,A,A,B,C,C i per tant la mediana seria\u00a0A. En la pr\u00e0ctica, la informaci\u00f3 sobre les opcions m\u00e9s preferides dels votants f\u00e0cilment vindr\u00e0 donada mitjan\u00e7ant els corresponents percentatges. En tal cas, per a determinar l\u2019opci\u00f3 mediana n\u2019hi ha prou amb calcular els corresponents percentatges acumulats i veure en quina opci\u00f3 se supera el 50%. Per exemple, si tenim A\u00a040%, B\u00a025%, C\u00a035%, la mediana \u00e9s B, ja que 40% < 50% < 40%+25%.<\/p>\n Totes aquestes consideracions es generalitzen f\u00e0cilment a un nombre arbitrari d’opcions. Els arguments precedents s\u00f3n deguts a l’economista escoc\u00e8s Duncan Black, que els va presentar el 1948. Tanmateix, la regla de la mediana ja havia estat proposada el 1907 per Sir Francis Galton, i encara abans, el 1625 i 1642, pel jurista holand\u00e8s Hugo de Groot.<\/p>\n Tornant a la pregunta\u00a02 sobre el futur de Catalunya, ja hem dit que \u00e9s raonable creure que les prefer\u00e8ncies dels votants s\u00f3n coherents amb l\u2019ordre A\u2009\u2013\u2009B\u2009\u2013\u2009C. En la mesura que sigui efectivament aix\u00ed,<\/em> correspondria, per tant, adoptar com a decisi\u00f3 col\u00b7lectiva la que determini la regla de la mediana: Segons hem vist, aquesta regla selecciona l\u2019opci\u00f3\u00a0A sempre que aquesta sigui la m\u00e9s preferida per a una majoria absoluta de votants. El mateix val per a l\u2019opci\u00f3\u00a0C. En qualsevol altre cas, per\u00f2, el resultat \u00e9s l\u2019opci\u00f3\u00a0B, encara que aquesta per si sola no compt\u00e9s amb una majoria absoluta<\/em>. \u00c9s de notar que aix\u00f2 no perjudica pas l\u2019opci\u00f3\u00a0A en comparaci\u00f3 amb la pregunta\u00a01, on per guanyar tamb\u00e9 necessita una majoria absoluta.<\/p>\n Tanmateix, hom pot posar en dubte la validesa de la hip\u00f2tesi de coher\u00e8ncia de les prefer\u00e8ncies amb l\u2019ordre A\u2009\u2013\u2009B\u2009\u2013\u2009C. En efecte, tamb\u00e9 es pot entendre que hi hagi qui prefereixi evitar les mitges tintes, de manera que el seu ordre de prefer\u00e8ncia sigui A>C>B o\u00a0C>A>B. Aix\u00f2 ens deixa en la situaci\u00f3 general on no n\u2019hi ha prou amb con\u00e8ixer la quantitat de partidaris de cada opci\u00f3.<\/em> Per\u00f2 aquesta \u00e9s l\u2019\u00fanica informaci\u00f3 que pot proporcionar la pregunta 2 en la manera que est\u00e0 formulada. Aix\u00ed doncs, si cap opci\u00f3 obt\u00e9 una majoria absoluta, aleshores ens trobem davant del problema que els autors cl\u00e0ssics consideraven insoluble. I si tanquem els ulls i apliquem de tota manera la regla de la mediana, aleshores estem afavorint m\u00e9s del compte l\u2019opci\u00f3 interm\u00e8dia B. \u2740<\/p>\n [1]\u00a0Vegi\u2019s\u00a0M.\u00a0Drton, G.\u00a0H\u00e4gele, F.\u00a0Pukelsheim, W.\u00a0Reif, 2001\u201309,\u00a0The Augsburg Web Edition of Llull\u2019s Electoral Writings<\/a>,\u00a0aix\u00ed com les refer\u00e8ncies all\u00ed contingudes.<\/small><\/p>\n [2]\u00a0X.\u00a0Mora, 2010,\u00a0Votar, no tan f\u00e0cil com sembla, per\u00f2 podr\u00edem fer-ho millor!<\/a>.<\/small><\/p>\n (Aquesta entrada reprodueix un article que va ser publicat originalment el 27 de gener de 2014)<\/small><\/p>\n Com \u00e9s ben sabut, darrerament Catalunya s\u2019est\u00e0 plantejant la possibilitat d\u2019esdevenir un estat independent. Per tal de saber si els catalans ho volem realment aix\u00ed, convindria fer un refer\u00e8ndum. La pregunta m\u00e9s senzilla seria \u00f2bviament la seg\u00fcent: Pregunta 1.\u00a0 Vol que Catalunya esdevingui un estat independent? S\u00ed o no. En altres paraules, aquesta pregunta demana de pronunciar-se per una de les dues opcions seg\u00fcents: Opci\u00f3 A:\u00a0 Esdevenir un estat independent Opci\u00f3 N:\u00a0 No.. Llegir m\u00e9s<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":42,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[3],"tags":[11,12,18,19,21,24,40,50,54,64,67,73],"class_list":["post-20","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-decidir","tag-black","tag-borda","tag-comparacio-per-parelles","tag-condorcet","tag-cusa","tag-de-groot","tag-galton","tag-llull","tag-mes-de-dues-opcions","tag-preferencies-amb-un-sol-pic","tag-principi-de-la-majoria","tag-referendum"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/20","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/42"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=20"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/20\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=20"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=20"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=20"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
\n
\n
\n
\nRefer\u00e8ncies<\/h4>\n
\n
\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"