{"id":212,"date":"2016-02-29T12:58:00","date_gmt":"2016-02-29T12:58:00","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.uab.cat\/arselectionis\/?p=212"},"modified":"2023-10-10T00:18:56","modified_gmt":"2023-10-09T22:18:56","slug":"regles-de-repartiment-proporcional","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/?p=212","title":{"rendered":"Repartir escons “proporcionalment”"},"content":{"rendered":"

La formaci\u00f3 d’un parlament despr\u00e9s d’unes eleccions mitjan\u00e7ant llistes tancades consisteix b\u00e0sicament en repartir els escons d’una manera el m\u00e9s proporcional possible als vots aconseguits per cada candidatura.\u00a0Similarment ocorre a l’hora de decidir quants escons s’assignen a cada circumscripci\u00f3 electoral; en aquest cas, conv\u00e9 que el nombre d’escons sigui el m\u00e9s proporcional possible a la poblaci\u00f3. A continuaci\u00f3 explicarem diferents m\u00e8todes per repartir escons d’una manera el m\u00e9s proporcional possible a unes quantitats donades.<\/p>\n

Per centrar idees, treballarem amb un exemple concret. Suposarem una sola circumscripci\u00f3 on hem d’assignar 6 escons i on 1290 electors han repartit els seus vots entre quatre candidatures de la manera seg\u00fcent:<\/p>\n\n\n\n\n
<\/td>\ncandidatura 1<\/th>\ncandidatura 2<\/th>\ncandidatura 3<\/th>\ncandidatura 4<\/th>\n<\/tr>\n
vots<\/th>\n460<\/span><\/td>\n400<\/span><\/td>\n300<\/span><\/td>\n130<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Primera aproximaci\u00f3:<\/strong> Com que s’han em\u00e8s 1290 vots i volem assignar\u00a06\u00a0escons, toca a 1290\/6 = 215 vots per esc\u00f3. Aquesta quantitat la podem veure com el preu mitj\u00e0 d’un esc\u00f3:<\/p>\n

[katex display=true]\\hbox{preu mitj\\`a d’un esc\\’o} = \\frac{\\hbox{nombre de vots}}{\\hbox{nombre d’escons}}=\\frac{\\hbox{1290 vots}}{\\hbox{6 escons}}= 215\\,\\hbox{vots}\\,\/\\,\\hbox{esc\\’o}.[\/katex]<\/p>\n

Per calcular quants escons corresponen a cada candidatura, dividim els seus vots pel preu d’un esc\u00f3:<\/p>\n\n\n\n\n
<\/td>\ncandidatura 1<\/th>\ncandidatura 2<\/th>\ncandidatura 3<\/th>\ncandidatura 4<\/th>\n<\/tr>\n
vots \/ preu esc\u00f3<\/th>\n460 \/ 215 = 2.14<\/span><\/td>\n400 \/ 215 = 1.86<\/span><\/td>\n300 \/ 215 = 1.40<\/span><\/td>\n130 \/ 215 = 0.60<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Com que els escons es consideren unitats indivisibles, seria raonable assignar, respectivament: 2, 1, 1, 0 escons. Per\u00f2 d’aquesta manera no arribem als 6 que volem assignar. Qu\u00e8 podem fer? Una idea prou\u00a0natural i molt f\u00e0cil d’aplicar \u00e9s l’anomenada regla de les Restes Majors:<\/strong><\/p>\n

Dividim els vots de cada candidatura pel preu mitj\u00e0 d’un esc\u00f3 (\u00e9s a dir, el total de vots emesos dividit pel total d’escons a repartir). Primer assignem a cada partit tants escons com la part entera d’aquest quocient. Els escons que faltin per repartir els anem assignant, per ordre, a les candidatures que tinguin una part decimal m\u00e9s alta.<\/em><\/p>\n

Aqu\u00ed les restes s\u00f3n: 0.14, 0.86, 0.40, 0.60. La candidatura amb la resta m\u00e9s gran \u00e9s la segona (0.86) i la seg\u00fcent \u00e9s la quarta (0.60). Per tant els dos escons que falten s\u00f3n assignats a les candidatures 2 i 4. El repartiment d’escons segons la regla de les Restes Majors seria, doncs:<\/p>\n\n\n\n\n
<\/td>\ncandidatura 1<\/th>\ncandidatura 2<\/th>\ncandidatura 3<\/th>\ncandidatura 4<\/th>\n<\/tr>\n
escons Restes Majors<\/th>\n2<\/span><\/td>\n2<\/span><\/td>\n1<\/span><\/td>\n1<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Fixem-nos que en general el problema \u00e9s que volem aproximar amb uns n\u00fameros enters petits (escons) la proporcionalitat d’uns n\u00fameros enters grans (vots). Ho fem com ho fem, ens desviarem de la proporci\u00f3 exacta. Aqu\u00ed \u00e9s on entren les diferents regles de repartiment. A banda de la regla de les Restes Majors n’hi ha d’altres. Cada una d’elles s’acosta tot el que pot a la proporcionalitat, per\u00f2 segons un criteri que varia d’una regla a l’altra.<\/p>\n

Els m\u00e8todes que explicarem a continuaci\u00f3 es preocupen d’assignar els escons de manera que les quantitats de representaci\u00f3 que obtenen els electors siguin el menys desiguals possible<\/em>. La quantitat de representaci\u00f3 que obt\u00e9 un elector dep\u00e8n de la candidatura que hagi votat i dels escons que aquesta hagi rebut:<\/p>\n

[katex display=true]\\hbox{representaci\\’o d’un elector}=\\frac{\\hbox{escons rebuts candidatura}}{\\hbox{vots rebuts candidatura}}=\\frac{\\hbox{1}}{\\hbox{preu d’un esc\\’o}}[\/katex]<\/p>\n

La regla de D’Hondt<\/a><\/strong> segueix el criteri seg\u00fcent:<\/p>\n

Els escons es reparteixen entre els partits de manera que el preu m\u00e9s baix d’un esc\u00f3 sigui el m\u00e9s gran possible (equivalentment, de manera que la representaci\u00f3 m\u00e9s gran d’un elector sigui el m\u00e9s petita possible).<\/em><\/p>\n

Si comencem amb l’exemple anterior, observem que el preu mitj\u00e0 d’un esc\u00f3, el que hem calculat de 215 vots per esc\u00f3, no permet repartir els 6 escons sin\u00f3 nom\u00e9s 4 (el repartiment \u00e9s 2, 1, 1, 0). En aquest moment, la candidatura que menys paga \u00e9s la primera, que paga 460\u00a0\/\u00a02\u00a0=\u00a0230. Si el cinqu\u00e8 esc\u00f3 l’assignem a la candidatura 1, pagaria 460\u00a0\/\u00a03\u00a0=\u00a0153.3, si l’assignem a 2, pagaria 400\u00a0\/\u00a02\u00a0=\u00a0200, la candidatura 3 pagaria 300\u00a0\/\u00a02\u00a0=\u00a0150 i la 4\u00a0pagaria 130. Per tant, en l’esperit de la regla, el cinqu\u00e8 esc\u00f3 va a la candidatura 2. El sis\u00e8 anir\u00e0 a la candidatura 1, que pagar\u00e0 460\u00a0\/\u00a03\u00a0=\u00a0153.3, de manera que el repartiment de D’Hondt \u00e9s<\/p>\n\n\n\n\n\n
<\/td>\ncandidatura 1<\/th>\ncandidatura 2<\/th>\ncandidatura 3<\/th>\ncandidatura 4<\/th>\n<\/tr>\n
escons D’Hondt<\/th>\n3<\/span><\/td>\n2<\/span><\/td>\n1<\/span><\/td>\n0<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
vots \/ 153.3<\/th>\n3<\/span><\/td>\n2.6<\/span><\/td>\n1.96<\/span><\/td>\n0.8<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

A la taula anterior hem incl\u00f2s la divisi\u00f3 dels vots de cada candidatura per un nou preu global que hem trobat adient, a saber, 153.3 vots per esc\u00f3. Aquest valor, anomenat divisor de la regla de D’Hondt<\/strong>, compleix la seg\u00fcent propietat:<\/p>\n

Els escons que assignem a un partit s’obtenen dividint els seus vots entre el divisor i agafant la part entera del resultat <\/em>(la part entera d’un n\u00famero es t\u00e9 esborrant els seus decimals).<\/p>\n

L’assignaci\u00f3 d’escons segons la regla de D’Hondt es pot fer amb l’algorisme, prou conegut, consistent en construir una taula amb els n\u00fameros que resulten de dividir els vots dels diferents partits per 1, 2, 3, 4, 5, … i anar assignant escons per ordre de magnitud d’aquests n\u00fameros. El divisor de la regla D’Hondt \u00e9s el n\u00fameros associat al darrer esc\u00f3 (cal observar que no \u00e9s l’\u00fanic divisor<\/a>).<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
candidatura 1<\/th>\ncandidatura 2<\/th>\ncandidatura 3<\/th>\ncandidatura 4<\/th>\n<\/tr>\n
460 \/ 1 = 460<\/span><\/td>\n400 \/ 1 = 400<\/span><\/td>\n300 \/ 1 = 300<\/span><\/td>\n130 \/ 1 = 130<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
460 \/ 2 = 230<\/span><\/td>\n400 \/ 2 = 200<\/span><\/td>\n300 \/ 2 = 150<\/span><\/td>\n130 \/ 2 = 65<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
460 \/ 3 = 153.3<\/span><\/td>\n400 \/ 3 = 133.3<\/span><\/td>\n300 \/ 3 = 100<\/span><\/td>\n130 \/ 3 = 43.3<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
460 \/ 4 = 115<\/span><\/td>\n400 \/ 4 = 100<\/span><\/td>\n300 \/ 4 = 75<\/span><\/td>\n130 \/ 4 = 26<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

La regla de Sainte-Lagu\u00eb <\/strong>minimitza les difer\u00e8ncies entre electors en un altre sentit, el de m\u00ednims quadrats (m\u00e9s detalls<\/a>).<\/p>\n

Aqu\u00ed ja no \u00e9s tan clar com procedir, per\u00f2 resulta que el criteri de m\u00ednims quadrats equival a trobar un divisor que compleixi la condici\u00f3 seg\u00fcent: els n\u00fameros d’escons que s’obtenen en dividir els vots de cada partit pel divisor i arrodonir el resultat a l’enter m\u00e9s proper compleixen la condici\u00f3 que la seva suma \u00e9s igual al total d’escons a repartir (m\u00e9s detalls<\/a>).<\/p>\n

El divisor es pot trobar a ull o b\u00e9 amb un algorisme semblant al de D’Hondt, que tamb\u00e9 serveix per assignar els escons. Dividim els vots per 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, etc. (a la pr\u00e0ctica se sol dividir per 1, 3, 5, 7, 9, 11, etc., que \u00e9s equivalent)<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
candidatura 1<\/th>\ncandidatura 2<\/th>\ncandidatura 3<\/th>\ncandidatura 4<\/th>\n<\/tr>\n
460 \/ 0.5 = 920<\/span><\/td>\n400 \/ 0.5 = 800<\/span><\/td>\n300 \/ 0.5 = 600<\/span><\/td>\n130 \/ 0.5 = 260<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
460 \/ 1.5 = 306.7<\/span><\/td>\n400 \/ 1.5 = 266.7<\/span><\/td>\n300 \/ 1.5 = 200<\/span><\/td>\n130 \/ 1.5 = 86.7<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
460 \/ 2.5 = 184<\/span><\/td>\n400 \/ 2.5 = 160<\/span><\/td>\n300 \/ 2.5 = 120<\/span><\/td>\n130 \/ 2.5 = 52<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
460 \/ 3.5 = 131.4<\/span><\/td>\n400 \/ 3.5 = 114.3<\/span><\/td>\n300 \/ 3.5 = 85.7<\/span><\/td>\n130 \/ 3.5 = 37.1<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Anem assignant escons primer al n\u00famero m\u00e9s gran de la taula, despr\u00e9s al seg\u00fcent, etc. El divisor de la regla de Sainte-Lagu\u00eb<\/strong> \u00e9s el n\u00famero associat al darrer esc\u00f3, en aquest cas 260. Utilitzant aquest divisor i arrodonint a l’enter m\u00e9s proper obtenim el n\u00famero d’escons de cada partit (enlla\u00e7 al perqu\u00e8).<\/p>\n\n\n\n\n\n
<\/td>\ncandidatura 1<\/th>\ncandidatura 2<\/th>\ncandidatura 3<\/th>\ncandidatura 4<\/th>\n<\/tr>\n
escons Sainte-Lagu\u00eb<\/th>\n2<\/span><\/td>\n2<\/span><\/td>\n1<\/span><\/td>\n1<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
vots \/ 260<\/th>\n1.77<\/span><\/td>\n1.54<\/span><\/td>\n1.15<\/span><\/td>\n0.5<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

En lloc d’arrodonir a l’enter m\u00e9s proper, com fa la regla de Sainte-Lagu\u00eb, o arrodonir per defecte, com fa la regla de D’Hondt, tamb\u00e9 es pot considerar la possibilitat d’arrodonir per exc\u00e9s, que \u00e9s el que fa la regla d’Adams<\/strong>. En aquest cas serveix com a divisor el valor 400, o qualsevol n\u00famero lleugerament inferior, com ara 399. En dividir els vots de cada partit per aquest valor i arrodonir per exc\u00e9s obtenim, respectivament, 2, 2, 1, 1 escons, que efectivament sumen els 6 que hi ha per repartir. En aquest cas el resultat coincideix amb el de Sainte-Lagu\u00eb, per\u00f2 en altres casos no seria aix\u00ed.<\/p>\n

Noti’s que segons la regla d’Adams, qualsevol partit que tingui almenys un vot hauria de rebre almenys un esc\u00f3 (suposant que hi ha m\u00e9s escons que partits). En efecte, sigui quin sigui el divisor, sempre que hi hagi almenys un vot el quocient ser\u00e0 positiu i el seu arrodoniment per exc\u00e9s ser\u00e0 almenys 1. Aquesta particularitat no \u00e9s gaire adient en el context de repartir escons entre partits, per\u00f2 en el repartiment d’escons entre circumscripcions en funci\u00f3 de la poblaci\u00f3 \u00e9s prou apropiada.<\/p>\n

On s’utilitzen les regles de D’Hondt i Sainte-Lagu\u00eb?<\/strong><\/p>\n

La regla de D’Hondt s’utilitza majorit\u00e0riament en pa\u00efsos que trien el seu parlament mitjan\u00e7ant un m\u00e8tode proporcional amb llistes de partits (obertes o tancades), per exemple a B\u00e8lgica, Espanya, Finl\u00e0ndia, Holanda, Israel, Pol\u00f2nia, Portugal, o Su\u00efssa, aix\u00ed com la majoria de pa\u00efsos llatinoamericans. Altres pa\u00efsos apliquen aquesta regla per triar una part del parlament, com Dinamarca i Jap\u00f3.<\/p>\n

La regla de Sainte-Lagu\u00eb \u00e9s molt menys utilitzada, l’apliquen Alemanya, Noruega i Su\u00e8cia (aquests dos \u00faltims, una versi\u00f3 lleugerament modificada); i parcialement, Nova Zelanda i Dinamarca. \u2740<\/p>\n

<\/p>\n

\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La formaci\u00f3 d’un parlament despr\u00e9s d’unes eleccions mitjan\u00e7ant llistes tancades consisteix b\u00e0sicament en repartir els escons d’una manera el m\u00e9s proporcional possible als vots aconseguits per cada candidatura.\u00a0Similarment ocorre a l’hora de decidir quants escons s’assignen a cada circumscripci\u00f3 electoral; en aquest cas, conv\u00e9 que el nombre d’escons sigui el m\u00e9s proporcional possible a la poblaci\u00f3. A continuaci\u00f3 explicarem diferents m\u00e8todes per repartir escons d’una manera el m\u00e9s proporcional possible a unes quantitats.. Llegir m\u00e9s<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":43,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2,4],"tags":[6,22,27,68,74,75,76],"class_list":["post-212","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-com-ho-fan-a","category-representar","tag-adams","tag-dhondt","tag-divisor","tag-proporcionalitat","tag-representacio-proporcional","tag-restes-majors","tag-sainte-lague"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/212","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/43"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=212"}],"version-history":[{"count":14,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/212\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3182,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/212\/revisions\/3182"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=212"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=212"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/arselectionis\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=212"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}