Estabilidad de la persistencia A-infinito.
Francisco Belchí Guillamón (Institut de Robòtica i Informàtica Industrial, CSIC-UPC)

Resumen: En todo tipo de contextos, desde genómica hasta imagen médica, se puede aplicar la homología persistente para obtener información valiosa sobre los datos de estudio. La propiedad que hace que este método sea tan potente se llama estabilidad, y asegura que pequeñas variaciones en los datos de entrada pueden producir, como mucho, pequeños cambios en el output del algoritmo. Esto tiene todo tipo de implicaciones, desde el proporcionar a la homología persistente robustez respecto a errores de medición hasta permitir estimar con precisión la homología de un subespacio métrico a partir de una muestra finita de puntos del mismo.
Para obtener una descripción más detallada de unos datos cualesquiera, uno puede usar la persistencia A-infinito, que acopla a la maquinaria de la homología persistente la posibilidad de estudiar relaciones entre clases de homología persistente, información relativa al producto cup y a los productos de Massey generalizados, etc.
En esta charla, quiero mostrar cómo la teoría de categorías nos permite hallar un contexto en el que la persistencia A-infinito goza también de la propiedad de la estabilidad.
Este es un trabajo conjunto con Anastasios Stefanou.

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Serre’s question for Artin groups
Rubén Blasco García (Universidad de Zaragoza)

Resumen: A group is said to be quasi-projective if it can be realized as the fundamental group of a quasi-projective variety. The problem of knowing if a certain group is quasi-projective or not is known as Serre’s question. Dimca, Papadima and Suciu solved this problem for the family of right-angled Artin groups (RAAGs). In this talk I will speak about this question and about a generalization of this result that solves Serre’s question for the family of even Artin groups. Moreover, we will state a stronger problem that we will call «Quasi-projective $K(\pi,1)$ Conjecture» that it is also satisfied by the family of even Artin groups. This is a joint work with Jos\’e Ignacio Cogolludo.

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Complejos Duales
Alejandro Cañas Muñoz (Universidad de Málaga)

Resumen: Introducimos el concepto de esquema y le asociamos un complejo celular, su complejo dual. Es posible deducir propiedades topológicas de un complejo dual, como el ser contráctil o colapsable, fijándose únicamente en el esquema asociado. Así mismo, procesos de geometría algebraica, como la desingularización o el Programa del Modelo Minimal, se traducen a transformaciones de complejos celulares que mantienen el tipo de homotopía simple. Nos preguntamos si siempre podremos ver estas transformaciones entre complejos como transformaciones entre esquemas y mostramos un pequeño resultado en esa dirección en grafos.

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Teorema de Tischler con borde
Robert Cardona Aguilar (Universitat Politècnica de Catalunya)

Resumen: En esta charla presentaré una demostración del caso general del teorema de Tischler, un importante resultado en topología diferencial. Este resultado fue mencionado parcialmente en su artículo sin explicitar la demostración. Luego presentaré una generalización de este teorema a variedades con borde usando el b-calculo de Melrose, en un resultado nuevo obtenido con Eva Miranda (y colaboración de Daniel Peralta). Si da tiempo, explicaré una aplicación interesante del primer teorema al campo de sistemas integrables en variedad simplécticas.

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Braids, curves on surfaces and parabolic subgroups
María Cumplido Cabello (Université de Bourgogne)

Resumen: Artin-Tits groups are a natural generalisation of braid groups from the algebraic point of view. In particular, Artin-Tits groups of spherical type share many properties with braid groups.
However, some of these properties for the braid group are proved using topological or geometrical techniques, since a braid group can be seen as the fundamental group of a configuration space, and also as a mapping class group of a punctured disc. As one cannot replicate these topological or geometrical techniques in other Artin-Tits groups, they must be replaced by algebraic arguments when trying to extend these properties to all Artin-Tits groups of spherical type. That is why we are interested in parabolic subgroups of Artin-Tits groups, which are defined as conjugates of a subgroups generated by a subset of the standard generators. They are the analogue of isotopy classes of simple closed curves in the puncture disk, which are the building blocks that form the well-known complex of curves. Then, it is logical to believe that improving our understanding about parabolic subgroups will allow us to prove similar results for Artin-Tits groups of spherical type in general.
In this talk we present the new «complex of irreducible parabolic subgroups» and two new results, namely that the intersection of parabolic subgroups is a parabolic subgroup and that the set of parabolic subgroups is a lattice.
(Joint work with Volker Gebhardt, Juan González-Meneses and Bert Wiest).

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El problema de realización de grupos y la categoría de flechas
David Méndez Martínez (Universidad de Málaga)

Resumen: Sea C una categoría y G un grupo. ¿Existe algún objeto X de C cuyo grupo de automorfismos sea G? Este problema, conocido como el problema de realización de grupos, ha sido y continúa siendo estudiado en diversas categorías. Por ejemplo, en la categoría de homotopía de espacios punteados fue propuesto por Kahn en los años 60, y ha sido resuelto en el caso de grupos finitos y de manera muy reciente por Costoya y Viruel.
En esta charla hablaremos del problema de realización de grupos en la categoría de flechas de una categoría C, donde los objetos son los morfismos o flechas f : A-> B de C y los morfismos entre dos flechas son pares de morfismos en C que forman un cuadrado conmutativo. Esta categoría permite enunciar un problema de realización generalizado: fijada C una categoría y dados G1, G2 y H ≤ G1 x G2 grupos, ¿existe algún morfismo f : A1 -> A2 en C de forma que Aut(Ai) = Gi y Aut(f)=H? Veremos cómo construir una solución a este problema en la categoría de grafos y cómo construir un funtor de la categoría de grafos a la categoría punteada de espacios topológicos punteados (HoTop_*) que permita trasladar la solución obtenida a HoTop_*. De paso, utilizaremos este funtor para obtener resultados en relación con la representatividad de categorías en HoTop_*.

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Una introducción al volumen simplicial ideal
Marco Moraschini (Università di Pisa)

Resumen: El volumen simplicial es un invariante homotópico de variedades compactas que fue introducido en el 1982 por Gromov en su «seminal paper» «Volume and Bounded Cohomology». El volumen simplicial en un cierto sentido mide la complejidad de la variedad en términos de cadenas singulares reales.
En esta charla, vamos a definir el volumen simplcial ideal, que es una variación del volumen simplicial clásico de variedades compactas con borde. La diferencia más grande entre ellos es que esto nuevo invariante mide el tamaño mínimo de una posible triangulaccíon ideal de M con coeficientes reales. De hecho, ahora simplices ideales son admitidos como representantes de la clase fundamental.
Tras investigar las propriedades más importantes del volumen simplicial ideal, vamos a ver que en el caso de variedades compactas con borde amenable, los dos invariantes coinciden.
Finalmente, si el tiempo lo permite, haremos el cálculo exacto del volumen
simplicial ideal de unas variedades de la que se desconoce el volumen simplicial clásico.
Éste es un trabajo conjunto con Roberto Frigerio.

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Coformalidad de espacios topológicos
José Manuel Moreno Fernández (Max Planck Insitute for Mathematics)

Resumen: La coformalidad de un espacio simplemente conexo es Eckmann-Hilton dual al concepto de formalidad: X es coformal si y solo si sus grupos de homotopía racionales junto con el producto de Whitehead (o equivalentemente, con el corchete de Samelson) determinan el tipo de homotopía racional de X. Trataremos de aprender cuándo y cómo distintos invariantes (como los productos de Whitehead superiores, las L-infinito estructuras, o la sucesión espectral de Quillen) permiten detectar o descartar la coformalidad de un espacio.

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Topología diferencial combinatoria en espacios finitos
David Mosquera Lois (Universidade de Santiago de Compostela)

Resumen: El objetivo de la charla consiste en exponer algunas técnicas y cuestiones que surgen en el estudio de los espacios topológicos finitos, nuestro tema de trabajo actual. Comenzamos relacionando los espacios topológicos finitos con los conjuntos parcialmente ordenados y los complejos simpliciales. A continuación estudiamos el tipo homotópico de los espacios topológicos finitos utilizando varias técnicas, entre las que destacan algunas adaptadas de la topología diferencial, con más precisión, una teoría de Morse discreta en este contexto. Asimismo, si el tiempo lo permite, también comentaremos una noción de curvatura y un análogo del Teorema de Gauss-Bonnet en este contexto.

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Contact structures with singularities
Cedric Oms (Universitat Politècnica de Catalunya)

Resumen: The study of singular symplectic manifolds was initiated by the work of Radko, who classified stable Poisson structures on surfaces. It was observed by Guillemin—Miranda—Pires that stable Poisson structures can be treated as a generalization of symplectic geometry by extending the de Rham complex. Since then, a lot has been done to understand the geometry, dynamics and topology of those manifolds.
We will explore the odd-dimensional case of those manifolds in this talk by extending the notion of contact manifolds to the singular setting. We plan to give local normal forms and the relation to singular symplectic geometry. We will prove the existence of singular contact structures in dimension 3.
This is joint work with Eva Miranda.

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Aplicaciones de la topología a las redes neuronales
Eduardo Paluzo Hidalgo (Universidad de Sevilla)

Resumen: Las redes neuronales son un tema con gran impacto científico y ha sido tratado desde diversos puntos de vista. Recientemente, se está trabajando desde un punto de vista topológico así que llevaremos a cabo una revisión de aquellas aproximaciones a redes neuronales que están teniendo mayor éxito. Aproximaciones basadas en la manifold hypothesis y el estudio de la topología de las capas internas de una red [1], la caracterización de la capacidad de la red en base a la complejidad topológica del conjunto de entrenamiento [2] y la identificación de adversarial examples [3]. Además, aportaremos nuestra propia aproximación basada en conjuntos representativos, mediante los cuales, se pretende mejorar el rendimiento, así como el problema de balanceado.

[1] C. Olah, Neural Networks, Manifolds, and Topology, 2014 http://colah.github.io/posts/2014-03-NN-Manifolds-Topology/
[2] W. H. Guss, R. Salakhutdinov, On Characterizing the Capacity of Neural Networks using Algebraic Topology, 2018,arXiv:1802.04443
[3] T. Gebhart, P. Schrater, Adversary Detection in Neural Networks via Persistent Homology, 2017, arXiv:1711.10056

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Homotopy of singular varieties via L∞ pairs
Marcel Rubió i Juncosa (KU Leuven)

Resumen: In this talk we show that for a complex algebraic variety with no weight-zero 1-cohomology classes, the fundamental group is strongly restricted; in particular, the irreducible components of the cohomology jump loci of rank one local systems containing the constant sheaf are complex affine tori. We prove this by studying the cohomology jump loci (or generalized Brill-Noether loci) via L∞ pairs: the yoga here being that a deformation problem with cohomology constraints is governed by an L∞ pair (L,M), consisting of an L∞ algebra L and an L-module M. The results we obtain are in contrast to the work by Simpson, Kapovich and Kollar, stating that every finitely presented group is the fundamental group of an irreducible complex algebraic variety with only normal crossings and Whitney umbrellas as singularities.
This is joint work with Nero Budur.