Enrique Artal (Universidad de Zaragoza)
Topología de rectas: segunda parte
¿Qué determina la topología de un conjunto de rectas, digamos en el plano proyectivo? El primer punto es acotar la pregunta; si el plano es real, podemos considerar es un problema muy visual. Si el plano es complejo, nos encontramos con un problema similar al que se ataca en teoría de nudos: estudiar el encaje de un objeto de codimensión dos. Ambos tienen una componente combinatoria, ya que el primer invariante topológico es su combinatoria, es decir, el patrón de intersecciones. La combinatoria determina invariantes topológicos no triviales, como el anillo de cohomología del complemento (Orlik-Solomon) y hace ya tiempo se demostró (Rybnikov) que el grupo fundamental de este complementario no está determinado por la combinatoria. Cuando las rectas tienen ecuaciones reales, el «dibujo» real contiene toda la información topológica, pero de nuevo, el patrón de intersecciones no determina la topología. Esto es lo que se sabía en 2005 y lo que expuse en el XII Encuentro de Topología. En esta charla, pretendo contar los avances que se han producido desde entonces, incidiendo especialmente en los más elegantes, y particularmente en los aportados por Guerville-Ballé y Viu-Sos.
Luis Hernández Corbato (Universidad Politécnica de Madrid)
Dinámica topológica en el anillo y finales primos
En la charla se presentarán cuestiones de dinámica topológica en el anillo. La iteración de un homeomorfismo en el anillo asocia a cada punto su velocidad media de rotación, también denominado número de rotación puntual. Al contrario de lo que ocurre en la circunferencia, estos números no siempren están bien definidos ni su racionalidad implica la existencia de órbitas periódicas.
A un compacto anular invariante por la dinámica del anillo podemos asociarle otro número de rotación a través de la compactificación por finales primos de su complementario. Se demostrará que este número determina el número de rotación puntual de un subconjunto significativo del compacto.
Marta Macho-Stadler (Euskal Herriko Unibertsitatea)
Con ‘A’ de topólogA
¿Sabrías citar el nombre de alguna topóloga? No vale citar a las que acuden a los Encuentros de Topología de nuestra red…
No es fácil, el área de geometría y topología ha tenido una representación femenina escasa. Además, como en otras muchas disciplinas, las mujeres se han mantenido –o las han apartado– en un ‘discreto’ segundo plano.
Conoceremos a algunas de las pioneras, sus matemáticas y sus luchas… y también a algunas de las mujeres que hoy están trabajando con ‘A’ de topólogA.
Eva Miranda (Universitat Politècnica de Catalunya)
Topología simpléctica con singularidades y órbitas periódicas
En esta charla discutiremos diversas generalizaciones de Topología Simpléctica para considerar estructuras simplécticas con singularidades centrándonos en diversas aplicaciones al estudio de órbitas periódicas. Estas estructuras simplécticas con singularidades (b^m-simplécticas) aparecen de forma natural al «regularizar» diversos problemas en mecánica celeste incluyendo el problema restringido de tres cuerpos.
Describiremos un proceso de desingularización (deblogging) de dichas estructuras (trabajo conjunto con Victor Guillemin y Jonathan Weitsman) para obtener estructuras simplécticas o estructuras simplécticas dobladas dependiendo de la paridad del orden de los polos de las estructuras.
Presentaremos diversos problemas abiertos sobre la existencia de órbitas periódicas en este contexto retomando, en particular, el caso del problema restringido de tres cuerpos y las órbitas periódicas de Poincaré acumulándose en el infinito. Para finalizar la charla demostraremos la conjectura de Weinstein para estructuras de contacto con singularidades de orden par (trabajo conjunto con Cédric Oms).
Aniceto Murillo (Universidad de Málaga)
Revisión de la teoría de homotopía racional según Quillen
Motivados por la teoría de deformación, y en particular por el Teorema de Cuantización-Deformación de Kontsevich, extendemos la teoría clásica de homotopía racional según Quillen a cualquier espacio topológico (no necesariamente simplemente conexo) y al cualquier álgebra de Lie graduada diferencial (no necesariamente reducida). Una nueva estructura de categoría de modelos en estas álgebras de Lie resulta ser una herramienta esencial en este proceso. El núcleo de esta estructura consiste en la construcción del dual de Eckmann-Hilton de las formas diferenciales en los símplices estándar. De hecho, la no existencia hasta el momento de este objeto ha causado cierta sorpresa y/o controversia entre expertos en homotopía racional desde el principio de la teoría.
José Antonio Vilches (Universidad de Sevilla)
Categoría L-S y complejidad topológica: un enfoque combinatorio
El propósito de esta charla es presentar una versión discreta de las nociones de categoría de Lusternik-Schnirelmann y complejidad topológica en el contexto de los complejos simpliciales. Ambos invariantes se definen esencialmente como sus análogos continuos, pero tomando como noción de homotopía entre aplicaciones simpliciales la pertenencia a una misma clase de contigüidad. Ello permite relacionarlo desde un punto de vista geométrico con el tipo de homotopía simple fuerte introducido por Barmak y Minian donde la noción de colapso fuerte juega un papel clave. Se mostrarán los resultados básicos, en unas ocasiones similares y en otras no, a los del caso topológico. Asimismo, teniendo en cuenta la dificultad que entraña el cálculo de los invariantes continuos, se establecerán cotas con sus versiones discretas, que permitan estimarlos. Estas nuevas versiones discretas no solo dependen de la topología del complejo considerado, sino también de la estructura combinatoria (triangulación) fijada. Finalmente, se establecerán vínculos entre este enfoque y la teoría de espacios topológicos finitos y posets.
Trabajo conjunto con D. Fernández-Ternero, E. Macías-Virgós y E. Minuz.