Un espai de Sobolev és un espai funcional que generalitza el concepte de derivada a funcions que no són necessàriament diferenciables en el sentit clàssic, però sí en un sentit feble o distribucional.
Formalment, per a un conjunt obert \( \Omega \subseteq \mathbb{R}^n \), \( k \in \mathbb{N} \) i \( 1 \leq p \leq \infty \). L’espai de Sobolev \( W^{k,p}(\Omega) \) es defineix com el conjunt de funcions \( u \in L^p(\Omega) \) tals que totes les seves derivades febles fins a ordre \( k \) també pertanyen a \(L^p(\Omega) \). És a dir:
$$
W^{k,p}(\Omega) = \left\{ u \in L^p(\Omega) \;\middle|\; D^\alpha u \in L^p(\Omega),\; \forall \alpha \in \mathbb{N}^n \text{ amb }
|\alpha| \leq k \right\}
$$
on \( D^\alpha u \) denota la derivada feble d’ordre multiíndex \( \alpha \).
Quan p = 2 , l’espai \( W^{k,2}(\Omega) \) és un espai de Hilbert, i sovint s’anomena \( H^k(\Omega) \).
Els espais de Sobolev són fonamentals en l’anàlisi funcional, les equacions en derivades parcials (EDP), el càlcul de variacions, la teoria de l’aproximació, etc.
Estudiarem les propietats funcionals d’aquests espais, el concepte de
derivada feble i les desigualtats de Sobolev que són una eina fonamental en l’anàlisi i en l’estudi de les Equacions en Derivades Parcials (EDP). Aquestes desigualtats expressen el fet sorprenent que és possible controlar la mida d’una funció si controlem la mida de les seves derivades. Més precisament tenim resultats del tipus:
Sigui \(0<k<n/p\) i \(1\leq p<\infty \). Si \(1/p-1/q=k/n\), llavors l’espai de
Sobolev \(W^{k,p}(\mathbb{R}^{n})\) està contínuament contingut a l’espai de Lebesgue \(L^{q}\left( \mathbb{R}^{n}\right) \) \'{e}s a dir
$$
\left\| f\right\| _{L^{q}\left( \mathbb{R}^{n}\right) }\leq C\left\|
f\right\| _{W^{k,p}(\mathbb{R}^{n})}, f\in W^{k,p}(\mathbb{R}^{n})
$$
on \(\left\| f\right\| _{W^{k,p}(\mathbb{R}^{n})}=\sum_{\left| \alpha \right|
}\left\| D^{\alpha }f\right\| _{L^{p}\left( \mathbb{R}^{n}\right) }.\)