La Teoria Qualitativa és una de les branques més joves de les matemàtiques amb poc més d’un segle de vida. Sorgeix de la necessitat de trobar formes alternatives de resoldre equacions diferencials (especialment sistemes) sense haver de trobar una
solució específica.
La Teoria Qualitativa es pot aplicar a una gran quantitat de problemes diferents. En problemes molt generals pot donar algunes solucions locals, però en problemes més concrets pot arribar a obtenir solucions globals.
Una de les aplicacions on més resultats s’estan obtenint es troba en la resolució de sistemes d’equacions diferencials polinomials.
Les equacions diferencials lineals ja van ser completament resoltes a principis del segle XIX, fins i tot en dimensió n arbitraria. Sembla natural doncs preguntar-se per les equacions diferencials quadràtiques, és a dir, on les derivades venen donades per polinomis de grau 2 com a molt en les variables.
Doncs resulta que aquest problema, fins i tot en dimensió 2, continua obert, i es desconeix encara quantes solucions diferents pot tenir un sistema d’aquesta mena. Sembla una mica difícil de creure donat que molts altres problemes polinomials de grau 2, com la classificació de les còniques, o de les quàdriques han estat resolts fa molt de temps, aquest continua obert des de fa més de 100 anys. Potser si diem que els sistemes diferencials lineals en el pla tenen només 10 possibles solucions, i en canvi els quadràtics en tenen mes de mil, es pugui entendre el per què de la dificultat.
Al llarg dels darrers cent anys s’han estudiat centenars de famílies de sistemes diferencials quadràtics.
Tradicionalment la forma d’estudiar els sistemes diferencials quadràtics ha estat la de buscar formes normals amb algunes propietats geomètriques o topològiques que reduïssin el nombre de paràmetres, i trobar diagrames de bifurcació que delimitessin les regions on els retrats canvien. De fet els altres dos TFG’s proposats i 6 TFG’s
ja fets van en aquesta direcció.
Però aquesta tècnica no permet arribar als retrats de fase més genèrics, doncs el nombre de paràmetres es massa gran.
Al 1998 es va fer el primer treball en que enlloc de buscar retrats de fase a partir d’una forma normal, es partia de generar tot el conjunt de retrats que fossin estructuralment estables, és a dir, que no canviessin per motiu de petites pertorbacions, i aleshores del conjunt d’aquests retrats potencialment realitzables, es buscava a la bibliografia si ja havien aparegut en algun article, o es podien obtenir a partir d’algun altra ja conegut, o simplement eren impossibles i calia demostrar-ho. D’aquesta manera es van trobar els 44 retrats de fase de sistemes quadràtics estructuralment estables mòdul cicles límit. També s’anomenen els retrats de codimensió zero.
Uns anys més tard es va generar de la mateixa manera el conjunt de retrats potencialment realizables de codimensió 1, i també es va aconseguir acabar.
Ara hi ha un projecte per aconseguir tots els retrats de fase de codimensió 2. Aquest projecte s’ha subdividit en diversos treballs, donada la seva longitud. Alguns d’ells ja estan completament acabats, i d’altres estan en procés. La part que no s’ha començat encara és la realització del conjunt de retrats de fase potencialment realitzables per sistemes diferencials quadràtics de codimensió 2 amb dues connexions de separatrius, i aquesta és la tasca que es proposa a l’alumne com a treball.
En funció del nombre de casos que vagin apareguen, si aquest surt molt elevat, pot ser que ens acabem limitant a algun dels subconjunts en que es podria subdividir la tasca. Si es pot fer tota, millor. Un cop feta la llista de tots els retrats potencialment realitzables, de segur que podrem localitzar alguns d’ells que ja han aparegut en alguns treballs, i alguns d’altres podran ser demostrats com a impossibles. Tractarem d’aconseguir tants exemples i proves d’impossibilitat com sigui possible, però de segur que quedaran bastants retrats dels quals no es podrà acabar d’assegurar la seva existència o impossibilitat, i quedaran per a futurs treballs.
El alumne rebrà formació en les tècniques més punteres per estudiar famílies de sistemes diferencials quadràtics, així com en les formes de classificar els retrats de fase. L’alumne haurà de llegir les parts principals d’un parell de llibres i uns articles on es busquen retrats de fase de sistemes quadràtics segons aquesta tècnica. A més tindrà accés a una base de dades creada en un TFG del curs 24-25 que li facilitarà la tasca de buscar els articles on es poden trobar els retrats que busquem.