Fa dos segles, Joseph Fourier va introduir la idea de representar funcions (periòdiques) com a sumes de funcions trigonomètriques per estudiar els fenòmens de transferència de calor. Això va conduir al desenvolupament de les idees de sèrie de Fourier i la transformada de Fourier, que s’han convertit en eines crucials en moltes ciències teòriques i aplicades (per exemple, la física, el processament de senyals). Això va marcar el començament de l’anàlisi harmònica, una branca variada i encara molt rellevant de l’anàlisi. Un aspecte clau de l’anàlisi harmònica és l’estudi d’operadors integrals connectats o reminiscents de la transformada de Fourier. Aquests objectes matemàtics poden ser investigats en diversos contextos (grups de Lie abelians i no abelians, grafs, etc.), tot i que qüestions fonamentals romanen sense resposta fins i tot en els espais Euclidians estàndard. Per exemple, la \textit{conjectura de restricció}, plantejada per Elias Stein en 1967, pregunta per a quins exponents \(p \geq 1\) la transformada de Fourier d’una funció en l’espai de Lebesgue \(L^p(\mathbb{R}^n)\) es pot restringir a varietats apropiades de dimensió inferior a \(n\). Aquest problema està profundament connectat amb l’estudi d’equacions dispersives, teoria de nombres i geometria. Se sap, per exemple, que la conjectura de restricció implica la conjectura de Kakeya, que afirma que qualsevol subconjunt de \(\mathbb{R}^n\) que contingui un segment unitari en totes les direccions ha de ser “\(n\)-dimensional” en el sentit de la seva dimensió de Hausdorff. Una possible proposta de TFG podria ser l’estudi d’aspectes relacionats amb la conjectura de restricció.
Les/els estudiants interessats en aquests temes poden contactar personalment amb mi (carmelo.puliatti@uab.cat) i podem acordar un projecte després d’una reunió.