Una manera de generalitzar la noció de “dimensió” als subconjunts de \(\mathbb{R}^n\) que no són necessàriament subvarietats és mitjançant la dimensió de Hausdorff. Els conjunts amb dimensió de Hausdorff no entera sovint es diuen fractals; un exemple clàssic és el conjunt de Cantor a la línia real. Determinar la dimensió de Hausdorff d’un conjunt pot ser desafiant en molts casos. Un mètode clau per fer-ho implica mètodes de transformada de Fourier, i en particular l’estudi de la transformada de Fourier de mesures suportades en el fractal.
Aquestes tècniques es poden aplicar en diversos contextos geomètrics (per exemple, teoremes de projecció de tipus Marstrand, el problema del conjunt de distàncies de Falconer, problemes de tipus Kakeya). Un possible projecte de TFG podria implicar triar una aplicació dels mètodes de transformada de Fourier en la geometria fractal i entendre-la.
Les/els estudiants interessats en aquests temes poden contactar personalment amb mi (carmelo.puliatti@uab.cat) i podem acordar un projecte després d’una reunió.