L’equació d’Euler (en forma de vorticitat) que descriu el moviment d’un fluid bidimensional és
$$\partial_t \omega + v\cdot \nabla \omega = 0,$$
on \(\omega\) és la vorticitat i \(v\) el camp de velocitats del fluid. Un cas d’especial rellevància en la mecànica de fluids és quan la condició inicial per la vorticitat és \(\omega(\cdot,0)= \chi_{D_0}\) essent \(D_0\) un domini del pla. És el conegut com a problema del patch.
En aquest TFG estudiarem l’equació d’Euler bidimensional entenent els conceptes de vorticitat i velocitat. Estudiarem les trajectòries que segueix una partícula dins del fluid. Finalment, ens traslladarem al cas del patch on mirarem teoremes d’existència i unicitat així com tècniques (stream function, funció definidora, problemes variacionals) aplicables a aquest cas.
Convé que l’estudiant hagi cursat l’assignatura Anàlisi Real i Funcional o estigui fent-ho, per tal d’aprofundir en qüestions relacionades amb l’existència, unicitat i regularitat de les solucions de la equació en derivades parcials associada al problema. Tot i així, es podria arribar a fer un bon TFG evitant certs aspectes si l’estudiant no l’ha cursat però té prou interès.