Un problema atribuït a von Neumann i que va ser popularitzat per Halmos el 1976 pregunta si donades dues matrius complexes hermítiques \(A,B\in M_n(\mathbb{C})\) (o sigui, iguals a les seves conjugades-transposades) tals que \(\Vert AB-BA\Vert\) és petita poden ser perturbades lleugerament per aconseguir matrius hermítiques \(A’,B’\) tals que \(A’B’=B’A’\). Halmos també va fer la mateixa pregunta per matrius unitàries (és a dir, invertibles amb inversa la transposada-conjugada). La naturalesa aparentment innocent d’aquestes preguntes amaga aspectes analítics, algebraics, i de grups de cohomologia. L’objectiu del treball és analitzar les respostes donades a aquestes preguntes (algunes negatives, altres positives). També s’analitzaran, com a ampliació natural, els anells anomenats estables per la norma.