En aquest projecte es pretén dissenyar i implementar noves funcions per a ser afegides en una llibreria de Magma sobre codis correctors d’errors basats en anells \(  \mathbb{Z}_4 \) amb \(p\) primer [5]. La versió actual d’aquesta llibreria està disponible en la pàgina web del grup CCSG (http://ccsg.uab.cat)  i en GitHub (https://github.com/merce-github/MagmaZpAdditiveCodes) [3]. La finalitat final és que pugui ser incorporada en la distribució oficial de Magma [2].

Magma, com es defineix en la seva pàgina web (http://magma.maths.usyd.edu.au/magma/), “és un paquet de programari ampli i ben mantingut, dissenyat per resoldre problemes computacionalment difícils en àlgebra, teoria de nombres, geometria i combinatòria. Proporciona un entorn matemàticament rigorós per al càlcul amb objectes algebraics, de teoria de nombres, combinatoris i geomètrics”. Actualment, les llibreries de Magma ofereixen els algorismes més eficients per treballar amb problemes de teoria de codificació. Aquest software permet crear paquets d’usuari i bases de dades per a poder ser inclosos localment. Magma està escrit amb C i utilitza les funcionalitats d’altres llibreries de C. A més, proporciona una gran quantitat de llibreries per teoria de codis [2].

Els codis lineals sobre \(  \mathbb{Z}_4 \) han estat estudiats i han adquirit rellevància ja que, després d’aplicar el mapa de Gray de \(  \mathbb{Z}_4 \) a parelles binàries, es poden obtenir codis binaris no lineals millors que qualsevol codi lineal binari conegut amb els mateixos paràmetres. Més concretament, Hammons et al. [4] mostren com construir codis binaris no lineals coneguts, com ara els codis de Kerdock i els codis de Delsarte-Goethals, d’aquesta forma. Posteriorment, s’han estudiat i classificat diversos altres codis binaris no lineals construïts aplicant el mapa de Gray a codis lineals sobre \(  \mathbb{Z}_4 \).

Els codis lineals sobre \(  \mathbb{Z}_{p^s} \), amb \(p\) primer, van ser estudiats per Blake [1] i Shankar [6] els anys 1975 i 1979, respectivament. Tanmateix, l’estudi dels codis sobre anells en general va augmentar significativament després de la publicació de [4] sobre codis lineals sobre \(  \mathbb{Z}_4 \). Els codis lineals sobre \(  \mathbb{Z}_{p^s} \) es poden veure com una generalització dels codis lineals sobre \(  \mathbb{Z}_4 \) i dels codis lineals binaris. Com que no existeix cap programari simbòlic per treballar amb codis lineals sobre \(  \mathbb{Z}_{p^s} \), utilitzant algunes de les llibreries ja implementades en Magma, els membres del Combinatorics, Coding and Security Group (CCSG) han estat desenvolupant un nou paquet de Magma, que incorpora les funcionalitats bàsiques per a aquests codis. Concretament, generalitza la major part de les funcions conegudes per a codis lineals sobre l’anell \(  \mathbb{Z}_4 \) a codis lineals sobre \(  \mathbb{Z}_{p^s} \), mantenint tota la funcionalitat per als codis sobre \(  \mathbb{Z}_4 \) i afegint noves funcions que, no només generalitzen les anteriors, sinó que introdueixen noves variants quan és necessari [3]. L’objectiu principal del projecte és desenvolupar algunes noves funcions en aquesta llibreria per augmentar la seva funcionalitat.

Les funcions a implementar s’han de desenvolupar seguint l’estil i requeriments de la llibreria on seran incloses. A més, s’ha de seguir la metodologia, realitzant test de proves i test d’integració amb la llibreria actual. El projecte es desenvoluparà dintre del Dept. d’Enginyeria de la Informació i de les Comunicacions i utilitzarà la infraestructura que disposa aquest departament. A l’estudiant se li proporcionarà les eines necessàries (bibliografia, infraestructura bàsica i eines de desenvolupament) per poder completar el projecte dintre d’un semestre.

Mercè Villanueva  (merce.villanueva@uab.cat)

Referències:

[1] I. F. Blake, “Codes over integer residue rings,” Information and Control, vol. 29, no. 4, pp. 295–300, 1975.

[2] J. J. Cannon, W. Bosma, C. Fieker, and A. Steel (Eds.) Handbook of Magma Functions, Edition 2.26-4, 6347 pages, 2021.

[3] C. Fernández-Córdoba, A. Torres-Martín, and M. Villanueva, “Linear Codes Over the Integer Residue Ring \(Z_{p^m}\) : A Magma Package” Magma Package 1.0, Universitat Autònoma de Barcelona, 2024.

[4] A. R. Hammons, P. V. Kumar, A. R. Calderbank, N. J. A. Sloane, and P. Solé, “The Z4-linearity of kerdock, preparata, goethals and related codes,” IEEE Trans. on Information Theory, vol. 40, no. 2, pp. 301-319, 1994.

[5] F. I. MacWilliams and N. J. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, North-Holland, New York, 1977.

[6] P. Shankar, “On BCH codes over arbitrary integer rings,” IEEE Trans. on Information Theory, vol. 25, no. 4, pp. 480–483, 1979.