El problema de la convergència de les sèries de Fourier d’una funció \(f \in L^2(\mathbb{T})\) ha estat un dels temes centrals de l’anàlisi harmònica des del segle XIX. Una fita significativa en aquest camí és el teorema de Kolmogorov–Seliverstov–Plessner, que estableix un criteri suficient per a la convergència puntual gairebé arreu de la sèrie de […]
Sigui \(f \in L^2(\mathbb{R})\). Llavors, per la teoria de la transformada de Fourier, \(\hat{f} \in L^2(\mathbb{R})\), i per tant és localment integrable, és a dir, \(\hat{f} \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R})\). Això ens permet definir, per a qualsevol \(R > 0\), la següent funció: $$ S_R f(x) = \int_{-R}^{R} \hat{f}(\xi)\, e^{2\pi i x \xi}\, d\xi $$ Aquesta expressió […]
La teoria de la interpolació d’operadors es va iniciar amb una observació de Jóżef Marcinkiewicz, posteriorment generalitzada i ara coneguda com el teorema de Riesz-Thorin. En termes simples, si un operador lineal és acotat en un espai \(L^p\) i també en un espai \(L^q\), llavors és contínuament extensible a qualsevol espai \(L^r\) amb \(r\) entre […]
Un espai de Sobolev és un espai funcional que generalitza el concepte de derivada a funcions que no són necessàriament diferenciables en el sentit clàssic, però sí en un sentit feble o distribucional. Formalment, per a un conjunt obert \( \Omega \subseteq \mathbb{R}^n \), \( k \in \mathbb{N} \) i \( 1 \leq p \leq […]
Els espais invariants per reordenació son espais de Banach de funcions caracteritzats pel fet que si dues funcions tenen la mateixa funció de distribució llavors tenen la mateixa norma. Exemples importants d’aquests espais son els espais Lp, els espais de Lorentz, els espais de Marcinkiewicz, els espais de Lorentz-Zygmund, els espais d’Orlicz i els espais […]