La teoria de pesos clàssica estableix una sèrie de condicions sobre funcions (anomenades pesos) \(w\in L^1_{\rm loc}(\mathbb R^d)\) per tal que l’operador maximal de Hardy-Littlewood \[Mf(x)=\sup_{r>0}\frac{1}{m(B_r(x))}\int_{B_r(x)} f(y)\, w(y)\, dm(y),\] on \(m\) representa la mesura de Lebesgue, sigui fitat en algun espai \(L^p(m)\). Entre aquestes condicions es troben les classes de Muckenhoupt \(A_p\), la seva unió […]
El problema de Dirichlet consisteix a trobar funcions harmòniques \( u:\Omega\to\mathbb R\) en un domini \(\Omega\) amb els valors de frontera prescrits \(u\equiv f\). Quan la dada de frontera és contínua i el domini és prou regular podem demostrar existència i unicitat de la solució amb continuïtat a la clausura del domini \(\overline\Omega\). Donat un […]
Prerrequisit: pels continguts tractats en el TFG, és important haver estudiat teoria de la mesura (integral de Lebesgue com a mínim). Estudiarem operadors d’extensió, és a dir, formes d’estendre una funció definida en un cert domini a l’espai ambient (amb derivades integrables localment), de manera que la norma de la funció resultant estigui controlada per […]