Es tracta de veure com es pot interpretar els teoremes de Cantor, de Gödel, i altres resultats anàlegs, de forma categoria. Això es farà via el famós “teorema del punt fix de Lawvere”, que es pot demostrar fàcilment, i després veure com es pot deduir versions categorials dels teoremes citats.
Sigui \(A\subset \mathbb{Z}\) un conjunt finit. Diem que \(A\) tessel·la el conjunt dels nombres enters si existeix un conjunt \(B\subset \mathbb{Z}\) tal que qualsevol nombre \(n\in \mathbb{Z}\) es pot escriure com \(a+b=n\), amb \(a\in A\) i \(b\in B\), de manera única. Intuïtivament, podem pensar que és possible “cobrir” el conjunt dels enters, sense superposició, amb […]
Sigui \(A\subset \mathbb{Z}\) un conjunt finit. Diem que \(A\) tessel·la el conjunt dels nombres enters si existeix un conjunt \(B\subset \mathbb{Z}\) tal que qualsevol nombre \(n\in \mathbb{Z}\) es pot escriure com \(a+b=n\), amb \(a\in A\) i \(b\in B\), de manera única. Intuïtivament, podem pensar que és possible “cobrir” el conjunt dels enters, sense superposició, amb […]
Es fa una introducció a la teoria de les corbes algebraiques planes i les superfícies de Riemann, en què conflueixen mètodes de diverses àrees de les matemàtiques, com l’àlgebra, l’anàlisi i la topologia. El resultat més important que estudiarem és el teorema de Riemann-Roch. El treball culmina amb l’estudi d’alguna aplicació, possiblement relacionada amb algun […]
Molts dels espais que ens trobem en matemàtiques estan definits a partir de zeros de polinomis (per exemple, el conjunt de les matrius de determinant 1 o les matrius ortogonals). La geometria algebraica és la branca de les matemàtiques encarregada de l’estudi geomètric d’aquests espais a partir de la relació amb l’àlgebra (commutativa). Aquest treball […]
Els automorfismes i les transformacions ortogonals de \(\mathbb{R}^n\) són grups ben coneguts que ja apareixen a àlgebra lineal. Juntament amb el grup simplèctic (transformacions que preserven una forma bilineal antisimètrica) formen els grups, anomenats de Lie, clàssics. Al voltant de 1889, Killing va intentar classificar les àlgebres de Lie complexes simples, una versió lineal dels […]
Malgrat que es coneixen bé els polígons que es poden construir amb regle i compàs, si fem dues marques al regle, és encara un problema obert saber quins polígons regulars podem construir. Fa tan sols deu anys es va provar que l’endecàgon regular, el qual no és construible amb regle i compàs, sí és construible […]