La teoria de representacions sosté que la millor manera de conèixer un grup és saber de quantes maneres es pot veure com un subgrup de matrius, és a dir, de quantes maneres es pot representar en un espai vectorial qualsevol. Quan el grup és compacte o finit, tenim al nostre abast eines que permeten desenvolupar […]
La teoria de matrius enteres combina l’àlgebra lineal amb la teoria de grups i la teoria de nombres. Com el determinant de la inversa d’una matriu és l’invers del determinant, per tal de tindre un grup, es consideren matrius amb determinant $\pm 1$ ($\textup{GL}(n,\mathbb{Z}))$) o $1$ ($\textup{SL}(n,\mathbb{Z}))$). Algunes qüestions interessants que hi apareixen són si […]
Considerem la funció zeta de Riemann, que es defineix com \(\zeta(s)=\sum_{n\geq 1} n^{-s}\) per \(s>1\). Fixem també un primer p. El treball consistirà en entendre què vol dir que aquesta funció (que pren valors complexos, en general) es pugui “interpolar p-àdicament”. Aquest procés dona lloc a una “versió p-àdica”, posem \(\zeta_p(s)\), on ara tant la […]
És molt famosa la següent “coincidència numèrica”: \[ e^{\pi\sqrt{163}} \simeq 262537412640768743.99999999999925\ldots \] Sembla que una combinació de quantitats transcendents (\(e\) i \(\pi\)) amb nombres algebraics (\(\sqrt{163}\)) resulti en un nombre enter. De fet, el valor exacte del membre de l’esquerra no és enter (ni tan sols racional) però s’hi apropa molt! L’objectiu del treball és […]
En aquest projecte es pretén dissenyar i implementar noves funcions per a ser afegides en una llibreria de Magma sobre codis correctors d’errors basats en anells \( \mathbb{Z}_4 \) amb \(p\) primer [5]. La versió actual d’aquesta llibreria està disponible en la pàgina web del grup CCSG (http://ccsg.uab.cat) i en GitHub (https://github.com/merce-github/MagmaZpAdditiveCodes) [3]. La finalitat […]
La idea és estudiar propietats de les series formals restringides i de les series formals convergents (per un anell commutatiu topològic, o un anell amb un valor absolut no arquimedià), seguint la nombrosa bibliografia sobre el tema, i alhora aprofitar per aprendre Lean4 i la formalització de resultats matemàtics. El treball es pot entendre com […]
Un problema atribuït a von Neumann i que va ser popularitzat per Halmos el 1976 pregunta si donades dues matrius complexes hermítiques \(A,B\in M_n(\mathbb{C})\) (o sigui, iguals a les seves conjugades-transposades) tals que \(\Vert AB-BA\Vert\) és petita poden ser perturbades lleugerament per aconseguir matrius hermítiques \(A’,B’\) tals que \(A’B’=B’A’\). Halmos també va fer la mateixa […]
L’objectiu d’aquest treball és triar i desenvolupar alguns dels temes del llibre “Mathematical Omnibus” de D. Fuchs i S. Tabachnikov.
El commutador additiu de \(x\) i \(y\) en un anell \(R\) és per definició \([x,y]=xy-yx\), que és trivial quan l’anell és commutatiu, i per tant adquireix importància en el cas no commutatiu (per exemple, en anells de matrius sobre un cos). En el treball es pretén estudiar anells molt no commutatius, en el sentit que […]
Una C*-àlgebra és una àlgebra de Banach (normada) complexa amb involució que satisfà l’equació \(\Vert aa^*\Vert = \Vert a\Vert\). Els examples clàssics són, en el cas commutatiu, \(C(X)\), funcions contínues amb valors complexos sobre un espai compacte Hausdorff, productes finits de matrius sobre els complexos o, més en general, l’àlgebra d’operadors lineals continus sobre un […]
Siguin \(R\) i \(S\) anells amb unitat no necessàriament commutatius. Diem que una aplicació \(f\colon R\to S\) és un braquimorfisme si \(f(xy)=f(x)f(y)\) i \(f(x+1)=f(x)+1\) per a tota parella \(x,y\in R\). S’estudiarà el problema de quan aquesta condició implica automàticament que \(f\) és un morfisme d’anells (és a dir, que a més \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) ). Sorprenentment, la […]
El rang estable és una propietat introduïda per Bass els anys 60, i que es pot pensar com una noció no commutativa de dimensió. En efecte, Vaserstein va provar que per anells de funcions contínues a valors complexos \(C(X)\), el rang estable és essencialment la meitat de la part entera de la dimensió de \(X\). […]
La noció d’anell de quocients és fonamental en el desenvolupament de la teoria d’anells. Per anells associatius, el concepte d’anell de quocients esquerra es pot traçar fins a Utumi a finals dels 50, on es construeix l’anell maximal de quocients esquerra per a qualsevol anell (commutatiu o no). L’objectiu del treball és revisar breument la […]
És ben sabut que per a un cos \(K\), l’isomorfisme \(K^n\cong K^m\) implica que \(n=m\). Aquest fet es pot estendre fàcilment a anells commutatius amb unitat. Quan \(R\) no és commutatiu, aleshores pot passar que \(R^n\cong R^m\) però \(n\neq m\). Les anomenades àlgebres de Leavitt modelen aquest comportament. Més recentment, les àlgebres de camins de […]
Estudiar un tema de teoria Iwasawa (un dels especialistes mundials és Andrew Wiles) basant-nos en un capítol concret dels llibres de Washington o bé Lang sobre “cyclotomic fields”.
Treballar en estudiar el treball Conway que calcula el normalitzador de grups aritmètics en PSL_2(R) e intentar fer recerca amb altres grups aritmètics o fer un tema més general que treballi grups fuchsians. Parlar en persona, per si un tema concret llegint un article i fer recerca, o un tema generalista per estudi de grups […]
Tema general. Els mòduls el.líptics van ser descoberts per Drinfeld, i aquest treball li va reportar guanyar la medalla Fields. Els mòduls el.líptics o de Drinfeld son interessants per l’estudi aritmètic sobre cossos globals de característica positiva. Triar un problema amb aquesta direcció, fonamentat en el llibre Mihran Papikian “Drinfeld modules ” GTM 296 (2023)
Considerem l’anell de polinomis a coeficients un cos finit \(F_q\) i considera la $$\zeta(n)=\sum_{a\; monic}\frac{1}{a^n}$$ Donem un sentit analític a l’expressió donant un valor. Estudiareu si aquests valors son algebraics o no, si es pot escriure un anàleg de funció zeta de Riemann, i que succeeix als negatius i amb l’equació funcional. El treball ha […]
La tesis del meu primer estudiant Eslam Badr aporta un estudi general de corbes planes no singulars. Un exemple és la corba de Fermat de grau d. El treball pot estudiar diverses preguntes de conceptes bàsics a plantejar fer-ne alguna aportació original.
Sigui \(A\subset \mathbb{Z}\) un conjunt finit. Diem que \(A\) tessel·la el conjunt dels nombres enters si existeix un conjunt \(B\subset \mathbb{Z}\) tal que qualsevol nombre \(n\in \mathbb{Z}\) es pot escriure com \(a+b=n\), amb \(a\in A\) i \(b\in B\), de manera única. Intuïtivament, podem pensar que és possible “cobrir” el conjunt dels enters, sense superposició, amb […]
Sigui \(A\subset \mathbb{Z}\) un conjunt finit. Diem que \(A\) tessel·la el conjunt dels nombres enters si existeix un conjunt \(B\subset \mathbb{Z}\) tal que qualsevol nombre \(n\in \mathbb{Z}\) es pot escriure com \(a+b=n\), amb \(a\in A\) i \(b\in B\), de manera única. Intuïtivament, podem pensar que és possible “cobrir” el conjunt dels enters, sense superposició, amb […]
Estem acostumats, en qualsevol espai mètric, a poder considerar una bola oberta tan menuda com vullguem. T’imagines una topologia on tots els oberts són enormes? Potser l’exemple més famós és la topologia de Zariski, la més natural quan considerem conjunts definits com l’anul·lació de polinomis (per exemple, el graf d’una funció polinòmica o el conjunt […]
Els automorfismes i les transformacions ortogonals de \(\mathbb{R}^n\) són grups ben coneguts que ja apareixen a àlgebra lineal. Juntament amb el grup simplèctic (transformacions que preserven una forma bilineal antisimètrica) formen els grups, anomenats de Lie, clàssics. Al voltant de 1889, Killing va intentar classificar les àlgebres de Lie complexes simples, una versió lineal dels […]
Malgrat que es coneixen bé els polígons que es poden construir amb regle i compàs, si fem dues marques al regle, és encara un problema obert saber quins polígons regulars podem construir. Fa tan sols deu anys es va provar que l’endecàgon regular, el qual no és construible amb regle i compàs, sí és construible […]