Un problema atribuït a von Neumann i que va ser popularitzat per Halmos el 1976 pregunta si donades dues matrius complexes hermítiques \(A,B\in M_n(\mathbb{C})\) (o sigui, iguals a les seves conjugades-transposades) tals que \(\Vert AB-BA\Vert\) és petita poden ser perturbades lleugerament per aconseguir matrius hermítiques \(A’,B’\) tals que \(A’B’=B’A’\). Halmos també va fer la mateixa […]
L’objectiu d’aquest treball és triar i desenvolupar alguns dels temes del llibre “Mathematical Omnibus” de D. Fuchs i S. Tabachnikov.
Una C*-àlgebra és una àlgebra de Banach (normada) complexa amb involució que satisfà l’equació \(\Vert aa^*\Vert = \Vert a\Vert\). Els examples clàssics són, en el cas commutatiu, \(C(X)\), funcions contínues amb valors complexos sobre un espai compacte Hausdorff, productes finits de matrius sobre els complexos o, més en general, l’àlgebra d’operadors lineals continus sobre un […]
Siguin \(R\) i \(S\) anells amb unitat no necessàriament commutatius. Diem que una aplicació \(f\colon R\to S\) és un braquimorfisme si \(f(xy)=f(x)f(y)\) i \(f(x+1)=f(x)+1\) per a tota parella \(x,y\in R\). S’estudiarà el problema de quan aquesta condició implica automàticament que \(f\) és un morfisme d’anells (és a dir, que a més \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) ). Sorprenentment, la […]
El rang estable és una propietat introduïda per Bass els anys 60, i que es pot pensar com una noció no commutativa de dimensió. En efecte, Vaserstein va provar que per anells de funcions contínues a valors complexos \(C(X)\), el rang estable és essencialment la meitat de la part entera de la dimensió de \(X\). […]
La noció d’anell de quocients és fonamental en el desenvolupament de la teoria d’anells. Per anells associatius, el concepte d’anell de quocients esquerra es pot traçar fins a Utumi a finals dels 50, on es construeix l’anell maximal de quocients esquerra per a qualsevol anell (commutatiu o no). L’objectiu del treball és revisar breument la […]
És ben sabut que per a un cos \(K\), l’isomorfisme \(K^n\cong K^m\) implica que \(n=m\). Aquest fet es pot estendre fàcilment a anells commutatius amb unitat. Quan \(R\) no és commutatiu, aleshores pot passar que \(R^n\cong R^m\) però \(n\neq m\). Les anomenades àlgebres de Leavitt modelen aquest comportament. Més recentment, les àlgebres de camins de […]
Estudiar un tema de teoria Iwasawa (un dels especialistes mundials és Andrew Wiles) basant-nos en un capítol concret dels llibres de Washington o bé Lang sobre “cyclotomic fields”.
Treballar en estudiar el treball Conway que calcula el normalitzador de grups aritmètics en PSL_2(R) e intentar fer recerca amb altres grups aritmètics o fer un tema més general que treballi grups fuchsians. Parlar en persona, per si un tema concret llegint un article i fer recerca, o un tema generalista per estudi de grups […]
Tema general. Els mòduls el.líptics van ser descoberts per Drinfeld, i aquest treball li va reportar guanyar la medalla Fields. Els mòduls el.líptics o de Drinfeld son interessants per l’estudi aritmètic sobre cossos globals de característica positiva. Triar un problema amb aquesta direcció, fonamentat en el llibre Mihran Papikian “Drinfeld modules ” GTM 296 (2023)
Considerem l’anell de polinomis a coeficients un cos finit $F_q$ i considera la $$\zeta(n)=\sum_{a\; monic}\frac{1}{a^n}$$ Donem un sentit analític a l’expressió donant un valor. Estudiareu si aquests valors son algebraics o no, si es pot escriure un anàleg de funció zeta de Riemann, i que succeeix als negatius i amb l’equació funcional. El treball ha […]
La tesis del meu primer estudiant Eslam Badr aporta un estudi general de corbes planes no singulars. Un exemple és la corba de Fermat de grau d. El treball pot estudiar diverses preguntes de conceptes bàsics a plantejar fer-ne alguna aportació original.
Es tracta de veure com es pot interpretar els teoremes de Cantor, de Gödel, i altres resultats anàlegs, de forma categoria. Això es farà via el famós “teorema del punt fix de Lawvere”, que es pot demostrar fàcilment, i després veure com es pot deduir versions categorials dels teoremes citats.
Sigui \(A\subset \mathbb{Z}\) un conjunt finit. Diem que \(A\) tessel·la el conjunt dels nombres enters si existeix un conjunt \(B\subset \mathbb{Z}\) tal que qualsevol nombre \(n\in \mathbb{Z}\) es pot escriure com \(a+b=n\), amb \(a\in A\) i \(b\in B\), de manera única. Intuïtivament, podem pensar que és possible “cobrir” el conjunt dels enters, sense superposició, amb […]
Sigui \(A\subset \mathbb{Z}\) un conjunt finit. Diem que \(A\) tessel·la el conjunt dels nombres enters si existeix un conjunt \(B\subset \mathbb{Z}\) tal que qualsevol nombre \(n\in \mathbb{Z}\) es pot escriure com \(a+b=n\), amb \(a\in A\) i \(b\in B\), de manera única. Intuïtivament, podem pensar que és possible “cobrir” el conjunt dels enters, sense superposició, amb […]
Es fa una introducció a la teoria de les corbes algebraiques planes i les superfícies de Riemann, en què conflueixen mètodes de diverses àrees de les matemàtiques, com l’àlgebra, l’anàlisi i la topologia. El resultat més important que estudiarem és el teorema de Riemann-Roch. El treball culmina amb l’estudi d’alguna aplicació, possiblement relacionada amb algun […]
Molts dels espais que ens trobem en matemàtiques estan definits a partir de zeros de polinomis (per exemple, el conjunt de les matrius de determinant 1 o les matrius ortogonals). La geometria algebraica és la branca de les matemàtiques encarregada de l’estudi geomètric d’aquests espais a partir de la relació amb l’àlgebra (commutativa). Aquest treball […]
Els automorfismes i les transformacions ortogonals de \(\mathbb{R}^n\) són grups ben coneguts que ja apareixen a àlgebra lineal. Juntament amb el grup simplèctic (transformacions que preserven una forma bilineal antisimètrica) formen els grups, anomenats de Lie, clàssics. Al voltant de 1889, Killing va intentar classificar les àlgebres de Lie complexes simples, una versió lineal dels […]
Malgrat que es coneixen bé els polígons que es poden construir amb regle i compàs, si fem dues marques al regle, és encara un problema obert saber quins polígons regulars podem construir. Fa tan sols deu anys es va provar que l’endecàgon regular, el qual no és construible amb regle i compàs, sí és construible […]