Un problema atribuït a von Neumann i que va ser popularitzat per Halmos el 1976 pregunta si donades dues matrius complexes hermítiques \(A,B\in M_n(\mathbb{C})\) (o sigui, iguals a les seves conjugades-transposades) tals que \(\Vert AB-BA\Vert\) és petita poden ser perturbades lleugerament per aconseguir matrius hermítiques \(A’,B’\) tals que \(A’B’=B’A’\). Halmos també va fer la mateixa […]
Les integrals de Borwein són una successió d’integrals trigonomètriques impròpies que segueixen un patró regular fins a un cert moment, a partir del qual el seu valor sembla erroni o caòtic. L’objectiu del treball és entendre aquest comportament. https://www.youtube.com/watch?v=851U557j6HE
Les superfícies mínimes es diuen així perquè localment minimitzen l’àrea. Models físics d’aquestes superfícies són les obtingudes submergint un filferro en una solució amb sabó. La representació de Weierstrass és una manera sistemàtica de construir parametritzacions de superfícies mínimes a partir de funcions holomorfes d’una variable.
En 1914, Ramanujan va proposar el següent problema en la revista de la Societat Matemàtica Índia: “prova que $$ ( \frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5}+\ldots ) + \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{\ldots}}}}=\sqrt{\frac{\pi e}{2}}.”$$ Entre d’altres, Ramanujan és famós perque, durant la seua carrera matemàtica, va demostrar o conjecturar moltes fórmules com aquesta. En 2020, un grup d’investigadors va introduir la […]
Kolmogorov–Arnold networks, or KANs, were introduced in 2024 as an alternative to usual neural networks. This project consists of the understanding of the mathematical foundations of the theory (including the Kolmogorov-Arnold representation theorem), the study of the definition and main properties of KANs, their comparison with usual neural networks and an exploration of their use. […]
L’equació d’Euler (en forma de vorticitat) que descriu el moviment d’un fluid bidimensional és $$\partial_t \omega + v\cdot \nabla \omega = 0,$$ on \(\omega\) és la vorticitat i \(v\) el camp de velocitats del fluid. Un cas d’especial rellevància en la mecànica de fluids és quan la condició inicial per la vorticitat és \(\omega(\cdot,0)= \chi_{D_0}\) […]
El problema de Muskat descriu el moviment de la interfície entre dos fluids immiscibles (com aigua i oli) dins d’un medi porós. Es basa en la llei de Darcy (que descriu la velocitat d’un fluid en un medi porós respecte la permeabilitat del medi i les viscositats i pressions del propi fluid) i en la conservació de la massa. Ens centrarem en […]
Una C*-àlgebra és una àlgebra de Banach (normada) complexa amb involució que satisfà l’equació \(\Vert aa^*\Vert = \Vert a\Vert\). Els examples clàssics són, en el cas commutatiu, \(C(X)\), funcions contínues amb valors complexos sobre un espai compacte Hausdorff, productes finits de matrius sobre els complexos o, més en general, l’àlgebra d’operadors lineals continus sobre un […]
El rang estable és una propietat introduïda per Bass els anys 60, i que es pot pensar com una noció no commutativa de dimensió. En efecte, Vaserstein va provar que per anells de funcions contínues a valors complexos \(C(X)\), el rang estable és essencialment la meitat de la part entera de la dimensió de \(X\). […]
És ben sabut que per a un cos \(K\), l’isomorfisme \(K^n\cong K^m\) implica que \(n=m\). Aquest fet es pot estendre fàcilment a anells commutatius amb unitat. Quan \(R\) no és commutatiu, aleshores pot passar que \(R^n\cong R^m\) però \(n\neq m\). Les anomenades àlgebres de Leavitt modelen aquest comportament. Més recentment, les àlgebres de camins de […]
Tema general. Els mòduls el.líptics van ser descoberts per Drinfeld, i aquest treball li va reportar guanyar la medalla Fields. Els mòduls el.líptics o de Drinfeld son interessants per l’estudi aritmètic sobre cossos globals de característica positiva. Triar un problema amb aquesta direcció, fonamentat en el llibre Mihran Papikian “Drinfeld modules ” GTM 296 (2023)
Considerem l’anell de polinomis a coeficients un cos finit $F_q$ i considera la $$\zeta(n)=\sum_{a\; monic}\frac{1}{a^n}$$ Donem un sentit analític a l’expressió donant un valor. Estudiareu si aquests valors son algebraics o no, si es pot escriure un anàleg de funció zeta de Riemann, i que succeeix als negatius i amb l’equació funcional. El treball ha […]
Altres possibles temes de TFG més enllà de l’anàlisi harmònica inclouen: Equacions en derivades parcials: Equacions en derivades parcials de segon ordre el·líptiques i parabòliques (fórmules de valor mitjà, continuïtat en la frontera de solucions, funcions de freqüència), mesures harmòniques i calòriques. Teoria geomètrica de la mesura: Rectificabilitat de conjunts i mesures (tant en contextos […]
Una manera de generalitzar la noció de “dimensió” als subconjunts de \(\mathbb{R}^n\) que no són necessàriament subvarietats és mitjançant la dimensió de Hausdorff. Els conjunts amb dimensió de Hausdorff no entera sovint es diuen fractals; un exemple clàssic és el conjunt de Cantor a la línia real. Determinar la dimensió de Hausdorff d’un conjunt pot […]
Fa dos segles, Joseph Fourier va introduir la idea de representar funcions (periòdiques) com a sumes de funcions trigonomètriques per estudiar els fenòmens de transferència de calor. Això va conduir al desenvolupament de les idees de sèrie de Fourier i la transformada de Fourier, que s’han convertit en eines crucials en moltes ciències teòriques i […]
La relació entre matemàtiques i música té moltes arestes. M’interessen totes, però en particular la vessant que relaciona els modes de vibració dels instruments amb l’anàlisi harmònica (entesa des d’un punt de vista matemàtic, clar). Una referència clau és el llibre de Benson [1]. D’aquest llibre, els capítols 1, 2 i 3 són particularment interessants […]
La transformada de Beurling \[Bf(z)=-\frac1\pi \lim_{\varepsilon\to o}\int_{|w-z|>\varepsilon} \frac{f(w)}{(z-w)^2}\, dm(w)\] és un operador important en anàlisi complexa. Aquesta importància rau en el fet que si \(f\in W^{1,p}(\mathbb C)\), aleshores \[B(\bar \partial f)=\partial f.\] Aquest fet fa que sigui fonamental la seva comprensió per tal d’entendre certes EDP’s al pla, en particular és cabdal en l’estudi de […]
Prerrequisits: Teoria de la mesura abstracta. Veurem la definició de dimensions fraccionàries a través de les mesures de Hausdorff, i estudiarem breument les dimensions de conjunts auto-similars, tipus fractals (Sierpiński, Cantor,…). A partir d’aquí tenim possibles línies de treball: Altres tipus de dimensió, tipus Minkowski, etcètera. [1] Fórmules de l’àrea i la coàrea: la fórmula […]
El problema de Dirichlet consisteix a trobar funcions harmòniques \( u:\Omega\to\mathbb R\) en un domini \(\Omega\) amb els valors de frontera prescrits \(u\equiv f\). Quan la dada de frontera és contínua i el domini és prou regular podem demostrar existència i unicitat de la solució amb continuïtat a la clausura del domini \(\overline\Omega\). Donat un […]
Prerrequisit: pels continguts tractats en el TFG, és important haver estudiat teoria de la mesura (integral de Lebesgue com a mínim). Estudiarem operadors d’extensió, és a dir, formes d’estendre una funció definida en un cert domini a l’espai ambient (amb derivades integrables localment), de manera que la norma de la funció resultant estigui controlada per […]
Sigui \(\mathbb{S}^1\) el cercle unitat. Donada una funció \(f:\mathbb{S}^1\to \mathbb{S}^1\) suficientment regular (per exemple, contínua), es pot definir el seu grau topològic \(\textrm{deg}\,f\) que, informalment, és el nombre total de vegades que la imatge \(f(\mathbb{S}^1)\) completa un gir al cercle en sentit antihorari (per tant, \(\textrm{deg}\,f\) és un enter). Exemple gràfic. Sorprenentment, el grau topològic […]
El problema de la convergència de les sèries de Fourier d’una funció \(f \in L^2(\mathbb{T})\) ha estat un dels temes centrals de l’anàlisi harmònica des del segle XIX. Una fita significativa en aquest camí és el teorema de Kolmogorov–Seliverstov–Plessner, que estableix un criteri suficient per a la convergència puntual gairebé arreu de la sèrie de […]
Sigui \(A\subset \mathbb{Z}\) un conjunt finit. Diem que \(A\) tessel·la el conjunt dels nombres enters si existeix un conjunt \(B\subset \mathbb{Z}\) tal que qualsevol nombre \(n\in \mathbb{Z}\) es pot escriure com \(a+b=n\), amb \(a\in A\) i \(b\in B\), de manera única. Intuïtivament, podem pensar que és possible “cobrir” el conjunt dels enters, sense superposició, amb […]
Sigui \(f \in L^2(\mathbb{R})\). Llavors, per la teoria de la transformada de Fourier, \(\hat{f} \in L^2(\mathbb{R})\), i per tant és localment integrable, és a dir, \(\hat{f} \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R})\). Això ens permet definir, per a qualsevol \(R > 0\), la següent funció: $$ S_R f(x) = \int_{-R}^{R} \hat{f}(\xi)\, e^{2\pi i x \xi}\, d\xi $$ Aquesta expressió […]
La teoria de la interpolació d’operadors es va iniciar amb una observació de Jóżef Marcinkiewicz, posteriorment generalitzada i ara coneguda com el teorema de Riesz-Thorin. En termes simples, si un operador lineal és acotat en un espai \(L^p\) i també en un espai \(L^q\), llavors és contínuament extensible a qualsevol espai \(L^r\) amb \(r\) entre […]
Un espai de Sobolev és un espai funcional que generalitza el concepte de derivada a funcions que no són necessàriament diferenciables en el sentit clàssic, però sí en un sentit feble o distribucional. Formalment, per a un conjunt obert \( \Omega \subseteq \mathbb{R}^n \), \( k \in \mathbb{N} \) i \( 1 \leq p \leq […]
Els espais invariants per reordenació son espais de Banach de funcions caracteritzats pel fet que si dues funcions tenen la mateixa funció de distribució llavors tenen la mateixa norma. Exemples importants d’aquests espais son els espais Lp, els espais de Lorentz, els espais de Marcinkiewicz, els espais de Lorentz-Zygmund, els espais d’Orlicz i els espais […]