Prerrequisits: Teoria de la mesura abstracta. Veurem la definició de dimensions fraccionàries a través de les mesures de Hausdorff, i estudiarem breument les dimensions de conjunts auto-similars, tipus fractals (Sierpiński, Cantor,…). A partir d’aquí tenim possibles línies de treball: Altres tipus de dimensió, tipus Minkowski, etcètera. [1] Fórmules de l’àrea i la coàrea: la fórmula […]
El problema de Dirichlet consisteix a trobar funcions harmòniques \( u:\Omega\to\mathbb R\) en un domini \(\Omega\) amb els valors de frontera prescrits \(u\equiv f\). Quan la dada de frontera és contínua i el domini és prou regular podem demostrar existència i unicitat de la solució amb continuïtat a la clausura del domini \(\overline\Omega\). Donat un […]
Prerrequisit: pels continguts tractats en el TFG, és important haver estudiat teoria de la mesura (integral de Lebesgue com a mínim). Estudiarem operadors d’extensió, és a dir, formes d’estendre una funció definida en un cert domini a l’espai ambient (amb derivades integrables localment), de manera que la norma de la funció resultant estigui controlada per […]
Sigui \(\mathbb{S}^1\) el cercle unitat. Donada una funció \(f:\mathbb{S}^1\to \mathbb{S}^1\) suficientment regular (per exemple, contínua), es pot definir el seu grau topològic \(\textrm{deg}\,f\) que, informalment, és el nombre total de vegades que la imatge \(f(\mathbb{S}^1)\) completa un gir al cercle en sentit antihorari (per tant, \(\textrm{deg}\,f\) és un enter). Exemple gràfic. Sorprenentment, el grau topològic […]
El problema de la convergència de les sèries de Fourier d’una funció \(f \in L^2(\mathbb{T})\) ha estat un dels temes centrals de l’anàlisi harmònica des del segle XIX. Una fita significativa en aquest camí és el teorema de Kolmogorov–Seliverstov–Plessner, que estableix un criteri suficient per a la convergència puntual gairebé arreu de la sèrie de […]
Sigui \(A\subset \mathbb{Z}\) un conjunt finit. Diem que \(A\) tessel·la el conjunt dels nombres enters si existeix un conjunt \(B\subset \mathbb{Z}\) tal que qualsevol nombre \(n\in \mathbb{Z}\) es pot escriure com \(a+b=n\), amb \(a\in A\) i \(b\in B\), de manera única. Intuïtivament, podem pensar que és possible “cobrir” el conjunt dels enters, sense superposició, amb […]
Sigui \(f \in L^2(\mathbb{R})\). Llavors, per la teoria de la transformada de Fourier, \(\hat{f} \in L^2(\mathbb{R})\), i per tant és localment integrable, és a dir, \(\hat{f} \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R})\). Això ens permet definir, per a qualsevol \(R > 0\), la següent funció: $$ S_R f(x) = \int_{-R}^{R} \hat{f}(\xi)\, e^{2\pi i x \xi}\, d\xi $$ Aquesta expressió […]
La teoria de la interpolació d’operadors es va iniciar amb una observació de Jóżef Marcinkiewicz, posteriorment generalitzada i ara coneguda com el teorema de Riesz-Thorin. En termes simples, si un operador lineal és acotat en un espai \(L^p\) i també en un espai \(L^q\), llavors és contínuament extensible a qualsevol espai \(L^r\) amb \(r\) entre […]
Un espai de Sobolev és un espai funcional que generalitza el concepte de derivada a funcions que no són necessàriament diferenciables en el sentit clàssic, però sí en un sentit feble o distribucional. Formalment, per a un conjunt obert \( \Omega \subseteq \mathbb{R}^n \), \( k \in \mathbb{N} \) i \( 1 \leq p \leq […]
Els espais invariants per reordenació son espais de Banach de funcions caracteritzats pel fet que si dues funcions tenen la mateixa funció de distribució llavors tenen la mateixa norma. Exemples importants d’aquests espais son els espais Lp, els espais de Lorentz, els espais de Marcinkiewicz, els espais de Lorentz-Zygmund, els espais d’Orlicz i els espais […]