Una condició suficient per a l’estabilitat d’un sistema dinàmic és l’existència d’una funció de Lyapunov, la qual és, però, difícil de trobar. Aquest treball és una exploració de com els transformers aconsegueixen trobar-la en molt més casos que les tècniques tradicionals. La referència inicial d’aquest treball és “Global Lyapunov functions: a long-standing open problem in […]
Els polítops són generalitzacions dels polígons i poliedres en dimensió superior. Com estan definits a partir de vèrtexs, arestes, cares, etc., es poden representar de manera senzilla en un ordinador. Aquest treball és un estudi de com s’han aplicat tècniques de machine learning, especialment reinforcement learning, a l’estudi dels polítops, amb especial interés en l’anomenada […]
En aquest projecte es pretén dissenyar i implementar noves funcions per a ser afegides en una llibreria de Magma sobre codis correctors d’errors basats en anells \( \mathbb{Z}_4 \) amb \(p\) primer [5]. La versió actual d’aquesta llibreria està disponible en la pàgina web del grup CCSG (http://ccsg.uab.cat) i en GitHub (https://github.com/merce-github/MagmaZpAdditiveCodes) [3]. La finalitat […]
La idea és estudiar propietats de les series formals restringides i de les series formals convergents (per un anell commutatiu topològic, o un anell amb un valor absolut no arquimedià), seguint la nombrosa bibliografia sobre el tema, i alhora aprofitar per aprendre Lean4 i la formalització de resultats matemàtics. El treball es pot entendre com […]
En 1914, Ramanujan va proposar el següent problema en la revista de la Societat Matemàtica Índia: “prova que $$ ( \frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5}+\ldots ) + \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{\ldots}}}}=\sqrt{\frac{\pi e}{2}}.”$$ Entre d’altres, Ramanujan és famós perque, durant la seua carrera matemàtica, va demostrar o conjecturar moltes fórmules com aquesta. En 2020, un grup d’investigadors va introduir la […]
La llei de Benford no només és una bellesa matemàtica: és un fenomen estadístic fascinant que mostra com, contra la intuïció, els dígits inicials de moltes col·leccions de dades reals no es distribueixen uniformement. El número 1 apareix com a primera xifra gairebé un 30% de les vegades! Aquesta regularitat aparentment paradoxal desperta preguntes profundes […]
El commutador additiu de \(x\) i \(y\) en un anell \(R\) és per definició \([x,y]=xy-yx\), que és trivial quan l’anell és commutatiu, i per tant adquireix importància en el cas no commutatiu (per exemple, en anells de matrius sobre un cos). En el treball es pretén estudiar anells molt no commutatius, en el sentit que […]
La geometria simplèctica és una branca fonamental de les matemàtiques modernes, amb aplicacions en la mecànica clàssica, la física matemàtica i la topologia. El non-squeezing teorema de Gromov diu que no es pot passar simplècticament un camell per una agulla. Això permet definir una familia d’invariants numèrics que són les capacitats simplèctiques. L’objectiu d’aquest TFG […]
Una fractal és un objecte matemàtic caracteritzat per l’auto-similitud, és a dir, la repetició d’una estructura similar a diverses escales d’observació. A diferència de les formes convencionals de la geometria clàssica, les fractals poden presentar una dimensió no enter, anomenada dimensió fractal, i que expressa la seva complexitat. Les fractals exhibeixen una estructura infinitament detallada […]