Sigui \(\mathbb{S}^1\) el cercle unitat. Donada una funció \(f:\mathbb{S}^1\to \mathbb{S}^1\) suficientment regular (per exemple, contínua), es pot definir el seu grau topològic \(\textrm{deg}\,f\) que, informalment, és el nombre total de vegades que la imatge \(f(\mathbb{S}^1)\) completa un gir al cercle en sentit antihorari (per tant, \(\textrm{deg}\,f\) és un enter). Exemple gràfic. Sorprenentment, el grau topològic […]
Es fa una introducció a la teoria de les corbes algebraiques planes i les superfícies de Riemann, en què conflueixen mètodes de diverses àrees de les matemàtiques, com l’àlgebra, l’anàlisi i la topologia. El resultat més important que estudiarem és el teorema de Riemann-Roch. El treball culmina amb l’estudi d’alguna aplicació, possiblement relacionada amb algun […]
Molts dels espais que ens trobem en matemàtiques estan definits a partir de zeros de polinomis (per exemple, el conjunt de les matrius de determinant 1 o les matrius ortogonals). La geometria algebraica és la branca de les matemàtiques encarregada de l’estudi geomètric d’aquests espais a partir de la relació amb l’àlgebra (commutativa). Aquest treball […]
Els automorfismes i les transformacions ortogonals de \(\mathbb{R}^n\) són grups ben coneguts que ja apareixen a àlgebra lineal. Juntament amb el grup simplèctic (transformacions que preserven una forma bilineal antisimètrica) formen els grups, anomenats de Lie, clàssics. Al voltant de 1889, Killing va intentar classificar les àlgebres de Lie complexes simples, una versió lineal dels […]
Les estructures de Dirac i la geometria generalitzada són nous enfocaments a les estructures geomètriques. Tenen la capacitat d’englobar estructures ja conegudes (presimplèctiques i Poisson en el cas Dirac, i simplèctiques i complexes en el cas complex generalitzat) i, a més, ofereixen un marc adequat per a algunes teories físiques recents, com mirror symmetry o […]
L’equació \(F=m\cdot a\) es reescriu, en el que s’anomena el formalisme hamiltonià, en termes d’un bivector anomenat estructura de Poisson. Les estructures de Poisson són un objecte amb interés tant físic (també en mecànica quàntica o teoria de cordes) com matemàtic (en geometria diferencial, algebraica o teoria de representacions). Aquest treball consisteix en la comprensió […]
Matemàticament els espinors es poden entendre a partir d’un espai vectorial amb una forma bilineal simètrica, mitjançant l’àlgebra de Clifford, una interessant estructura on operacions geomètriques, com la reflexió respecte d’un hiperplà, es transformen en algebraiques, en aquest cas la conjugació. Aquest treball consisteix en la comprensió dels fonaments de la teoria dels espinors i […]