Un problema atribuït a von Neumann i que va ser popularitzat per Halmos el 1976 pregunta si donades dues matrius complexes hermítiques \(A,B\in M_n(\mathbb{C})\) (o sigui, iguals a les seves conjugades-transposades) tals que \(\Vert AB-BA\Vert\) és petita poden ser perturbades lleugerament per aconseguir matrius hermítiques \(A’,B’\) tals que \(A’B’=B’A’\). Halmos també va fer la mateixa […]
Les superfícies mínimes es diuen així perquè localment minimitzen l’àrea. Models físics d’aquestes superfícies són les obtingudes submergint un filferro en una solució amb sabó. La representació de Weierstrass és una manera sistemàtica de construir parametritzacions de superfícies mínimes a partir de funcions holomorfes d’una variable.
Fer una introducció geomètrica i dinàmica a la teoria de webs en el pla (superposició finita d’òrbites de camps vectorials). Introduir la curvatura de Blaschke com invariant analític local de 3-webs i estudiar-ne les generalitzacions. https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-14562-4
Richard Feynman, premi Nobel de física, va ser un reconegut professor i divulgador. L’objectiu d’aquest treball és explicar la seva conferència sobre el moviment dels planetes al voltant del sol recollida en el llibre ”La conferencia perdida de Feynman” de David y Judith Goodstein. https://ia800404.us.archive.org/17/items/12073960FeynmanSLostLecture/12073960-Feynman-s-Lost-Lecture_text.pdf
L’objectiu d’aquest treball és triar i desenvolupar alguns del temes tractats en les conferències ”My favourite groups” de Étienne Ghys. https://www.youtube.com/playlist?list=PLo4jXE-LdDTRnW8nNmyUl9z5JRlZSdhJY
L’objectiu d’aquest treball és triar i desenvolupar alguns dels temes del llibre “Mathematical Omnibus” de D. Fuchs i S. Tabachnikov.
L’objectiu d’aquest treball és estudiar les geodèsiques i les línies de curvatura de les quàdriques. L’article clàssic de referència és: M. Chasles “Les lignes géodesiques et les lignes de courbure des surfaces de second degré.” https://www.numdam.org/item/JMPA_1846_1_11__5_0.pdf
La geometria simplèctica és una branca fonamental de les matemàtiques modernes, amb aplicacions en la mecànica clàssica, la física matemàtica i la topologia. El non-squeezing teorema de Gromov diu que no es pot passar simplècticament un camell per una agulla. Això permet definir una familia d’invariants numèrics que són les capacitats simplèctiques. L’objectiu d’aquest TFG […]
El teorema del punt fix de Brouwer estableix que tota funció contínua des d’una bola tancada d’un espai euclidià cap a si mateixa té un punt fix. Aquest teorema va estimular el naixement de la topologia algebraica i té aplicacions importants en teoria de jocs i economia. Aquest treball té com a objectiu d’estudiar algunes […]
Una fractal és un objecte matemàtic caracteritzat per l’auto-similitud, és a dir, la repetició d’una estructura similar a diverses escales d’observació. A diferència de les formes convencionals de la geometria clàssica, les fractals poden presentar una dimensió no enter, anomenada dimensió fractal, i que expressa la seva complexitat. Les fractals exhibeixen una estructura infinitament detallada […]
Treballar en estudiar el treball Conway que calcula el normalitzador de grups aritmètics en PSL_2(R) e intentar fer recerca amb altres grups aritmètics o fer un tema més general que treballi grups fuchsians. Parlar en persona, per si un tema concret llegint un article i fer recerca, o un tema generalista per estudi de grups […]
Tema general. Els mòduls el.líptics van ser descoberts per Drinfeld, i aquest treball li va reportar guanyar la medalla Fields. Els mòduls el.líptics o de Drinfeld son interessants per l’estudi aritmètic sobre cossos globals de característica positiva. Triar un problema amb aquesta direcció, fonamentat en el llibre Mihran Papikian “Drinfeld modules ” GTM 296 (2023)
La tesis del meu primer estudiant Eslam Badr aporta un estudi general de corbes planes no singulars. Un exemple és la corba de Fermat de grau d. El treball pot estudiar diverses preguntes de conceptes bàsics a plantejar fer-ne alguna aportació original.
Sigui \(\mathbb{S}^1\) el cercle unitat. Donada una funció \(f:\mathbb{S}^1\to \mathbb{S}^1\) suficientment regular (per exemple, contínua), es pot definir el seu grau topològic \(\textrm{deg}\,f\) que, informalment, és el nombre total de vegades que la imatge \(f(\mathbb{S}^1)\) completa un gir al cercle en sentit antihorari (per tant, \(\textrm{deg}\,f\) és un enter). Exemple gràfic. Sorprenentment, el grau topològic […]
Es fa una introducció a la teoria de les corbes algebraiques planes i les superfícies de Riemann, en què conflueixen mètodes de diverses àrees de les matemàtiques, com l’àlgebra, l’anàlisi i la topologia. El resultat més important que estudiarem és el teorema de Riemann-Roch. El treball culmina amb l’estudi d’alguna aplicació, possiblement relacionada amb algun […]
Molts dels espais que ens trobem en matemàtiques estan definits a partir de zeros de polinomis (per exemple, el conjunt de les matrius de determinant 1 o les matrius ortogonals). La geometria algebraica és la branca de les matemàtiques encarregada de l’estudi geomètric d’aquests espais a partir de la relació amb l’àlgebra (commutativa). Aquest treball […]
Els automorfismes i les transformacions ortogonals de \(\mathbb{R}^n\) són grups ben coneguts que ja apareixen a àlgebra lineal. Juntament amb el grup simplèctic (transformacions que preserven una forma bilineal antisimètrica) formen els grups, anomenats de Lie, clàssics. Al voltant de 1889, Killing va intentar classificar les àlgebres de Lie complexes simples, una versió lineal dels […]
Les estructures de Dirac i la geometria generalitzada són nous enfocaments a les estructures geomètriques. Tenen la capacitat d’englobar estructures ja conegudes (presimplèctiques i Poisson en el cas Dirac, i simplèctiques i complexes en el cas complex generalitzat) i, a més, ofereixen un marc adequat per a algunes teories físiques recents, com mirror symmetry o […]
L’equació \(F=m\cdot a\) es reescriu, en el que s’anomena el formalisme hamiltonià, en termes d’un bivector anomenat estructura de Poisson. Les estructures de Poisson són un objecte amb interés tant físic (també en mecànica quàntica o teoria de cordes) com matemàtic (en geometria diferencial, algebraica o teoria de representacions). Aquest treball consisteix en la comprensió […]