El commutador additiu de \(x\) i \(y\) en un anell \(R\) és per definició \([x,y]=xy-yx\), que és trivial quan l’anell és commutatiu, i per tant adquireix importància en el cas no commutatiu (per exemple, en anells de matrius sobre un cos). En el treball es pretén estudiar anells molt no commutatius, en el sentit que els commutadors els generen com a ideal. Els primers resultats en aquesta direcció es remunten a l’any 65 i han tingut un resorgiment recent, al 2024. En particular és interessant estudiar, donat \(R\), el mínim \(N\) tal que tot element \(a\in R\) s’escriu com \(a=\sum_{i=1}^N[a_i,b_i][c_i,d_i]\). Aquest \(N\) es denota per \(\xi(R)\) i ha estat estimat en algunes situacions (per anellls purament algebraics i també per àlgebres topològiques). S’estudiarà el cas del comportament d’aquest invariant pel pas a matrius amb especial èmfasi a \(M_n(D)\), on \(D\) és un cos (no necessàriament commutatiu) i la relació amb l’anomenada conjectura de L’vov-Kaplansky. També s’abordarà en el cas d’àlgebres d’operadors, si el temps ho permet.