El problema de la convergència de les sèries de Fourier d’una funció \(f \in L^2(\mathbb{T})\) ha estat un dels temes centrals de l’anàlisi harmònica des del segle XIX. Una fita significativa en aquest camí és el teorema de Kolmogorov–Seliverstov–Plessner, que estableix un criteri suficient per a la convergència puntual gairebé arreu de la sèrie de Fourier d’una funció.
Es tracta de provar el Teorema de Kolmogorov-Seliverstov-Plessner (1925), que estableix que
$$
S_n g(x)=O\left( \sqrt[2]{\log n}\right),\qquad \mbox{a.e.} \,x,\; g
\in L^2(\mathbb{T}).
$$
En particular permet deduir que la sèrie de qualsevol funció \(f\) que compleixi
$$
\sum_{n\in \mathbb{Z}}|\hat{f}(n)|\log^+|n|<\infty,\qquad
(\log^+|n|=\max(0,\log|n|)
$$
convergeix a la funció en gaire bé tot punt.
El teorema de Kolmogorov–Seliverstov–Plessner va representar un pas fonamental cap al teorema de Carleson. Encara que exigia una condició extra sobre els coeficients, va proporcionar eines i intuïcions que van ser crucials per al desenvolupament de tècniques modernes.
Les idees emprades en la demostració d’aquest teorema constitueixen un antecedent directe de la tècnica de les stopping times, una eina fonamental en l’anàlisi harmònica moderna que permet segmentar l’espai de manera adaptativa per controlar el comportament local de les funcions. A més, ja s’hi aplica de forma incipient la tècnica de linealització d’operadors maximals. La prova també conté altres tècniques clau que avui formen part del nucli de l’anàlisi moderna, com la funció maximal de Hardy–Littlewood, essencial per establir resultats de convergència gairebé per tot.