L’objectiu d’aquest treball és aprofundir en els detalls del curs Competing species and homeomorphisms of the disc del Professor Rafael Ortega (Málaga, 2007).
En aquest curs es mostra com la Topologia és útil per entendre el comportament dinàmic de sistemes d’equacions diferencials (en aquest cas, sistemes que modelen la interacció entre diferents espècies) quan només tenim informació qualitativa del sistema (és a dir, no tenim l’expressió de les equacions però sí el comportament qualitatiu de les funcions que les formen).
El curs està enfocat a una pregunta concreta: el principi d’exclusió competitiva. Si diferents espècies competeixen per un mateix recurs, alguna d’elles s’ha d’extingir? Aquesta pregunta està relacionada amb el següent problema: Sigui \(h: B \rightarrow B\) un homeomorphisme de la bola unitat \(B=\{x\in\mathbb{R}^d : \|x\|\leq 1\}\) que preserva la orientació. Suposa que tots els seus punts fixos estan a la frontera, \(Fix(h)\subset\partial B\). Podem dir que totes les òrbites \(h^n(p)\) han d’anar a parar a \(\partial B\)?
En el treball s’entrarà en els detalls d’aquest curs, omplint els detalls que falten, i s’introduirà la Teoria de Brouwer de traslació d’arcs.