La Teoria Qualitativa és una de les branques més joves de les matemàtiques amb poc més d’un segle de vida. Sorgeix de la necessitat de trobar formes alternatives de resoldre equacions diferencials (especialment sistemes) sense haver de trobar una
solució específica.

La Teoria Qualitativa es pot aplicar a una gran quantitat de problemes diferents. En problemes molt generals pot donar algunes solucions locals, però en problemes més concrets pot arribar a obtenir solucions globals.

Una de les aplicacions on més resultats s’estan obtenin es troba en la resolució de sistemes d’equacions diferencials polinomials.

Les equacions diferencials lineals ja van ser completament resoltes a principis del segle XIX, fins i tot en dimensió $n$ arbitraria. Sembla natural doncs preguntar-se per les equacions diferencials quadràtiques, és a dir, on les derivades venen donades per polinomis de grau 2 com a molt en les variables.

Doncs resulta que aquest problema, fins i tot en dimensió 2, continua obert, i és desconeix encara quantes solucions diferents pot tenir un sistema d’aquesta mena. Sembla una mica difícil de creure donat que molts altres problemes polinomials de grau 2, com la classificació de les còniques, o de les quàdriques han estat resolts fa molt de temps, aquest continua obert des de fa més de 100 anys. Potser si diem que els sistemes diferencials lineals en el pla tenen només 10 possibles solucions, i en canvi els quadràtics en tenen mes de mil, es pugui entendre el per què de la dificultat.

Al llarg dels darrers cent anys s’han estudiat centenars de famílies de sistemes diferencials quadràtics. El mètode clàssic d’estudi d’aquestes famílies ha estat buscar les seves singularitats, finites i infinites, i tractar d’avaluar el Jacobià en aquests punts.

Això ha obligat a buscar formes normals on al menys dues singularitats finites fossin senzilles de trobar.

Però això ha limitat molt el nombre de paràmetres que podien arribar a deixar-se com a graus de llibertat. Tradicionalment, s’han pogut estudiar famílies amb fins a 3 paràmetres i els pocs estudis amb famílies de 4 paràmetres o més, estan sota
revisió doncs s’han detectat alguns errors en ells.

Recentment, un parell de professors de la UAB juntament amb d’altres col·laboradors internacionals, han desenvolupat un mètode que permet estendre aquests estudis a famílies de 4 paràmetres (i fins i tot 5) sense necessitat de fixar (ni tan sols localitzar)
els punts singulars. Això ha convertit treballs de fi de grau de fa 30 anys en simples exercicis, i tasques de tesis en treballs de fi de grau.

En aquesta línia proposo doncs diverses tasques d’investigació que considero adequades per a un treball de fi de grau. Totes elles impliquen estudiar una família de sistemes diferencials quadràtics amb 4 paràmetres. De fet, i amb l’experiència de treballs similars propossats el curs 21-22, i 24-25 sabem que això son treballs de recerca pura, on sabem el tipus de resultat que busquem, però no si seran uns quants casos o un munt. Per tant no podem garantir que en temps previst per un TFG es pugui fer l’estudi complert. Si aquest és el cas, ens limitarem a fer un estudi parcial i deixarem per un futur TFM el poder-lo completar (com ha estat un dels TFG’s del 21-22).

Els alumnes rebran informació avan\c cada sobre Teoria Qualitativa, i s’hauran de llegir diversos articles on es resolen sistemes similars per tal d’assimilar la metodologia. També rebran els programes informàtics necessaris per poder-los resoldre. Els caldrà adaptar els programes al problema concret que hagin escollit.

Els resultats d’aquests treballs son factibles de ser publicats en revistes matemàtiques (dos TFG’s del curs 21-22 ja estan en procés de publicació) i serviran per engrandir la base de dades del conjunt de sistemes diferencials quadràtics.