Sigui \(\mathbb{S}^1\) el cercle unitat. Donada una funció \(f:\mathbb{S}^1\to \mathbb{S}^1\) suficientment regular (per exemple, contínua), es pot definir el seu grau topològic \(\textrm{deg}\,f\) que, informalment, és el nombre total de vegades que la imatge \(f(\mathbb{S}^1)\) completa un gir al cercle en sentit antihorari (per tant, \(\textrm{deg}\,f\) és un enter). Exemple gràfic.
Sorprenentment, el grau topològic d’una funció \(f\) prou regular (com ara contínuament derivable) es pot calcular a partir dels coeficients de Fourier \(\{ \hat{f}(n)\}\) de \(f\) amb la identitat
$$
\textrm{deg}\,f = \sum_{n\in\mathbb{Z}} n |\hat{f}(n)|^2,
$$
on la sèrie és absolutament convergent, ja que \(f\in C^1(\mathbb{S}^1)\).
A partir d’aquesta identitat tan interessant s’obre un ventall molt ric de possibles línies d’estudi [1, 3], algunes de les quals poden resultar especialment adequades per a projectes de TFG:
Es pot definir el concepte de grau topològic per a funcions no contínues a partir de la identiat anterior? Per exemple, en determinats espais de Sobolev o en l’espai de les funcions \(VMO\)? Una proposta de TFG és l’estudi de l’extensió del concepte de grau topològic a diversos espais de funcions [3, 6, 7].
En els casos en els quals \(f\) és contínua però \(\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{Z}} |n| |\hat{f}(n)|^2=\infty\), es pot caracteritzar \(\textrm{deg}\,f\) a partir d’algun mètode de sumació alternatiu de la sèrie \(\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{Z}} n |\hat{f}(n)|^2\)? Per exemple, per a funcions \(\alpha-\)Hölder contínues amb \(\alpha>\frac{1}{3}\) es té que $$ \textrm{deg}\,f = \lim_{t\to 0}\sum_{n\in\mathbb{Z}} |\hat{f}(n)|^2 \frac{\sin nt}{t}. $$ Una proposta de TFG és l’estudi dels diversos mètodes de sumació que permeten recuperar el grau topològic d’una funció en espais de funcions menys regulars [3, 4, 5, 6] (aquesta proposta està molt relacionada amb l’anterior).
És la identitat \(\textrm{deg}\,f = \displaystyle\sum_{n\in\mathbb{Z}} n |\hat{f}(n)|^2\) certa per a totes les funcions contínues? La resposta és negativa. Una proposta de TFG és l’estudi del contraexemple donat en l’article de recerca [2] (dificultat molt alta).
Bibliografia (orientativa)
H. Brezis, New questions related to the topological degree. The unity of mathematics. In honor of the ninetieth birthday of I. M. Gelfand, pp. 137-171. Birkhäuser, Boston, MA, 2006.
J. Bourgain and G. Kozma, One cannot hear the winding number, J. Eur. Math. Soc. 9 (4) (2007), 637-658.
H. Brezis and P. Mironescu, Sobolev maps to the circle. From the perspective of analysis, geometry, and topology. Birkhäuser, New York, 2021.
J.-P. Kahane, Winding numbers and Fourier series, Proc. Steklov Inst. Math. 273 (2011), 191-195.
J.-P. Kahane, Winding numbers and summation processes, Complex Var. Elliptic Equ. 55 (8-10) (2010), 911-922.
J. Korevaar, On a question of Brézis and Nirenberg concerning the degree of circle maps, Sel. Math., New Ser. 5 (1999), 107-122.
L. Nirenberg, Degree theory beyond continuous maps, CWI Q. 9 (1-2) (1996), 113-120.