Els automorfismes i les transformacions ortogonals de \(\mathbb{R}^n\) són grups ben coneguts que ja apareixen a àlgebra lineal. Juntament amb el grup simplèctic (transformacions que preserven una forma bilineal antisimètrica) formen els grups, anomenats de Lie, clàssics. Al voltant de 1889, Killing va intentar classificar les àlgebres de Lie complexes simples, una versió lineal dels grups de Lie, i es va adonar que podien existir diversos grups que no eren coneguts. En 1894, Cartan els va classificar i va donar construccions de tots els anomenats grups excepcionals: \(G_2\), \(F_4\), \(E_6\), \(E_7\) i \(E_8\). Aquest treball consisteix en definir i estudiar aquests grups d’una forma ben pareguda a com es fa amb els grups clàssics de matrius. Açò requerirà parlar primer dels octonions (una generalització dels complexos i els quaternions) i de l’àlgebra de Jordan excepcional.