Una fractal és un objecte matemàtic caracteritzat per l’auto-similitud, és a dir, la repetició d’una estructura similar a diverses escales d’observació. A diferència de les formes convencionals de la geometria clàssica, les fractals poden presentar una dimensió no enter, anomenada dimensió fractal, i que expressa la seva complexitat. Les fractals exhibeixen una estructura infinitament detallada a mesura que s’amplia una part de l’objecte. Aquesta riquesa geomètrica es troba en objectes naturals com les ramificacions d’arbres, les xarxes vasculars, o encara les línies costaneres.
Les fractals són objectes matemàtics fascinants tant per la seva estètica com pel seu contingut teòric profund. A més il·lustren de manera espectacular com les matemàtiques poden descriure el caos aparent del món real amb una precisió elegant.
Aquí teneu algunes línies de treball que es podrien explorar en aquesta proposta de TFG sobre les fractals.
- Anàlisi de les propietats geomètriques: dimensió fractal, auto-similitud, recurrència, invariància d’escala.
- Construcció de fractals clàssics: conjunt de Mandelbrot, conjunt de Julia, triangle de Sierpiński, floc de Koch.
- Relació amb la teoria del caos: com les fractals ajuden a descriure comportaments dinàmics complexos.
- Modelització de processos naturals: estructura de xarxes biològiques (pulmons, vasos sanguinis), geologia (formacions rocoses, línies costaneres).
- Simulació de fenòmens físics: turbulències, distribució de galàxies, patrons de creixement orgànic.
Bibliografia orientativa
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications – Kenneth Falconer
- The Fractal Geometry of Nature – Benoît B. Mandelbrot