Sigui \(f \in L^2(\mathbb{R})\). Llavors, per la teoria de la transformada de Fourier, \(\hat{f} \in L^2(\mathbb{R})\), i per tant és localment integrable, és a dir, \(\hat{f} \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R})\).
Això ens permet definir, per a qualsevol \(R > 0\), la següent funció:
$$
S_R f(x) = \int_{-R}^{R} \hat{f}(\xi)\, e^{2\pi i x \xi}\, d\xi
$$
Aquesta expressió representa les sumes parcials de Fourier de \(f\), i constitueix una extensió natural del concepte clàssic de sumes parcials en les sèries de Fourier. Ens preguntem ara si aquestes sumes convergeixen cap a \(f\) en la norma de \(L^p(\mathbb{R})\), \(1<p<\infty\) i que podem dir quan \(p=1\).
Observeu que aquest tipus de convergència no implica necessàriament la convergència puntual gairebé per tot, ni la convergència uniforme. Tot i així, és fonamental per a l’anàlisi funcional, la teoria de senyals i altres aplicacions.
El ingredients fonamentals per obtenir la resposta a les preguntes proposades són la transforma de Hilbert i els teoremes de Kolmogorov i de F. Riesz, les quals caldrà estudiar-los en detall.