El problema de valor inicial per a equacions en derivades parcials de primer ordre quasilineals es resol pel mètode de corbes característiques de manera única localment sempre que se satisfà una condició anomenada de transversalitat. Sovint però la solució clàssica (regular) no és global perquè les línies característiques se superposen a partir de cert temps, de forma que la superfície integral no és ja la gràfica d’una funció de dues variables, de forma que tindríem solucions (locals) multivaluades.
En problemes d’aplicació com ara el flux del trànsit, en què es requereix l’existència de solució per a tot temps, i per resoldre l’inconvenient anterior s’admeten solucions febles discontinues, anomenades ones de xoc. La discontinuïtat és una corba que satisfà l’anomenada condició de Rankine-Hugoniot (una equació diferencial ordinària) per tal que es compleixi la llei de conservació que ha originat l’equació en derivades parcials. Es tractaria de calcular solucions d’aquesta mena en alguns problemes concrets per als quals es fa necessari, potser, el càlcul numèric de les solucions.
Un treball relacionat seria obtenir la solució discontínua (l’ona de xoc) com a límit de la solució (analítica) d’una equació de difusió que aproxima l’equació de transport, resolent aquella pels mètodes numèrics de resolució d’equacions en derivades parcials de tipus parabòlic (aquest mètode s’anomena de “viscositat artificial”).
Àngel Calsina