Un problema atribuït a von Neumann i que va ser popularitzat per Halmos el 1976 pregunta si donades dues matrius complexes hermítiques \(A,B\in M_n(\mathbb{C})\) (o sigui, iguals a les seves conjugades-transposades) tals que \(\Vert AB-BA\Vert\) és petita poden ser perturbades lleugerament per aconseguir matrius hermítiques \(A’,B’\) tals que \(A’B’=B’A’\). Halmos també va fer la mateixa […]
El commutador additiu de \(x\) i \(y\) en un anell \(R\) és per definició \([x,y]=xy-yx\), que és trivial quan l’anell és commutatiu, i per tant adquireix importància en el cas no commutatiu (per exemple, en anells de matrius sobre un cos). En el treball es pretén estudiar anells molt no commutatius, en el sentit que […]
Una C*-àlgebra és una àlgebra de Banach (normada) complexa amb involució que satisfà l’equació \(\Vert aa^*\Vert = \Vert a\Vert\). Els examples clàssics són, en el cas commutatiu, \(C(X)\), funcions contínues amb valors complexos sobre un espai compacte Hausdorff, productes finits de matrius sobre els complexos o, més en general, l’àlgebra d’operadors lineals continus sobre un […]
Siguin \(R\) i \(S\) anells amb unitat no necessàriament commutatius. Diem que una aplicació \(f\colon R\to S\) és un braquimorfisme si \(f(xy)=f(x)f(y)\) i \(f(x+1)=f(x)+1\) per a tota parella \(x,y\in R\). S’estudiarà el problema de quan aquesta condició implica automàticament que \(f\) és un morfisme d’anells (és a dir, que a més \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) ). Sorprenentment, la […]
El rang estable és una propietat introduïda per Bass els anys 60, i que es pot pensar com una noció no commutativa de dimensió. En efecte, Vaserstein va provar que per anells de funcions contínues a valors complexos \(C(X)\), el rang estable és essencialment la meitat de la part entera de la dimensió de \(X\). […]
La noció d’anell de quocients és fonamental en el desenvolupament de la teoria d’anells. Per anells associatius, el concepte d’anell de quocients esquerra es pot traçar fins a Utumi a finals dels 50, on es construeix l’anell maximal de quocients esquerra per a qualsevol anell (commutatiu o no). L’objectiu del treball és revisar breument la […]
És ben sabut que per a un cos \(K\), l’isomorfisme \(K^n\cong K^m\) implica que \(n=m\). Aquest fet es pot estendre fàcilment a anells commutatius amb unitat. Quan \(R\) no és commutatiu, aleshores pot passar que \(R^n\cong R^m\) però \(n\neq m\). Les anomenades àlgebres de Leavitt modelen aquest comportament. Més recentment, les àlgebres de camins de […]