La relació entre matemàtiques i música té moltes arestes. M’interessen totes, però en particular la vessant que relaciona els modes de vibració dels instruments amb l’anàlisi harmònica (entesa des d’un punt de vista matemàtic, clar). Una referència clau és el llibre de Benson [1]. D’aquest llibre, els capítols 1, 2 i 3 són particularment interessants […]
La transformada de Beurling \[Bf(z)=-\frac1\pi \lim_{\varepsilon\to o}\int_{|w-z|>\varepsilon} \frac{f(w)}{(z-w)^2}\, dm(w)\] és un operador important en anàlisi complexa. Aquesta importància rau en el fet que si \(f\in W^{1,p}(\mathbb C)\), aleshores \[B(\bar \partial f)=\partial f.\] Aquest fet fa que sigui fonamental la seva comprensió per tal d’entendre certes EDP’s al pla, en particular és cabdal en l’estudi de […]
Prerrequisits: Teoria de la mesura abstracta. Veurem la definició de dimensions fraccionàries a través de les mesures de Hausdorff, i estudiarem breument les dimensions de conjunts auto-similars, tipus fractals (Sierpiński, Cantor,…). A partir d’aquí tenim possibles línies de treball: Altres tipus de dimensió, tipus Minkowski, etcètera. [1] Fórmules de l’àrea i la coàrea: la fórmula […]
El problema de Dirichlet consisteix a trobar funcions harmòniques \( u:\Omega\to\mathbb R\) en un domini \(\Omega\) amb els valors de frontera prescrits \(u\equiv f\). Quan la dada de frontera és contínua i el domini és prou regular podem demostrar existència i unicitat de la solució amb continuïtat a la clausura del domini \(\overline\Omega\). Donat un […]
Prerrequisits: cap L’objectiu del treball és dissenyar un joc de cartes o un joc de taula. Començarem per fer un cop d’ull a les matemàtiques que hi ha darrera el Dobble, i a continuació aprendrem la teoria del disseny combinatori. La part matemàtica principal consistirà en entendre aquesta teoria (que jo mateix no domino). Un […]
Prerrequisit: pels continguts tractats en el TFG, és important haver estudiat teoria de la mesura (integral de Lebesgue com a mínim). Estudiarem operadors d’extensió, és a dir, formes d’estendre una funció definida en un cert domini a l’espai ambient (amb derivades integrables localment), de manera que la norma de la funció resultant estigui controlada per […]