La teoria de pesos clàssica estableix una sèrie de condicions sobre funcions (anomenades pesos) \(w\in L^1_{\rm loc}(\mathbb R^d)\) per tal que l’operador maximal de Hardy-Littlewood \[Mf(x)=\sup_{r>0}\frac{1}{m(B_r(x))}\int_{B_r(x)} f(y)\, w(y)\, dm(y),\] on \(m\) representa la mesura de Lebesgue, sigui fitat en algun espai \(L^p(m)\). Entre aquestes condicions es troben les classes de Muckenhoupt \(A_p\), la seva unió […]
La transformada de Beurling \[Bf(z)=-\frac1\pi \lim_{\varepsilon\to o}\int_{|w-z|>\varepsilon} \frac{f(w)}{(z-w)^2}\, dm(w)\] és un operador important en anàlisi complexa. Aquesta importància rau en el fet que si \(f\in W^{1,p}(\mathbb C)\), aleshores \[B(\bar \partial f)=\partial f.\] Aquest fet fa que sigui fonamental la seva comprensió per tal d’entendre certes EDP’s al pla, en particular és cabdal en l’estudi de […]
Prerrequisits: Teoria de la mesura abstracta. Veurem la definició de dimensions fraccionàries a través de les mesures de Hausdorff, i estudiarem breument les dimensions de conjunts auto-similars, tipus fractals (Sierpiński, Cantor,…). A partir d’aquí tenim possibles línies de treball: Altres tipus de dimensió, tipus Minkowski, etcètera. [1] Fórmules de l’àrea i la coàrea: la fórmula […]
El problema de Dirichlet consisteix a trobar funcions harmòniques \( u:\Omega\to\mathbb R\) en un domini \(\Omega\) amb els valors de frontera prescrits \(u\equiv f\). Quan la dada de frontera és contínua i el domini és prou regular podem demostrar existència i unicitat de la solució amb continuïtat a la clausura del domini \(\overline\Omega\). Donat un […]
Prerrequisits: cap L’objectiu del treball és dissenyar un joc de cartes o un joc de taula. Començarem per fer un cop d’ull a les matemàtiques que hi ha darrera el Dobble, i a continuació aprendrem la teoria del disseny combinatori. La part matemàtica principal consistirà en entendre aquesta teoria (que jo mateix no domino). Un […]
Prerrequisit: pels continguts tractats en el TFG, és important haver estudiat teoria de la mesura (integral de Lebesgue com a mínim). Estudiarem operadors d’extensió, és a dir, formes d’estendre una funció definida en un cert domini a l’espai ambient (amb derivades integrables localment), de manera que la norma de la funció resultant estigui controlada per […]