La teoria de representacions sosté que la millor manera de conèixer un grup és saber de quantes maneres es pot veure com un subgrup de matrius, és a dir, de quantes maneres es pot representar en un espai vectorial qualsevol. Quan el grup és compacte o finit, tenim al nostre abast eines que permeten desenvolupar […]
La teoria de matrius enteres combina l’àlgebra lineal amb la teoria de grups i la teoria de nombres. Com el determinant de la inversa d’una matriu és l’invers del determinant, per tal de tindre un grup, es consideren matrius amb determinant $\pm 1$ ($\textup{GL}(n,\mathbb{Z}))$) o $1$ ($\textup{SL}(n,\mathbb{Z}))$). Algunes qüestions interessants que hi apareixen són si […]
Una condició suficient per a l’estabilitat d’un sistema dinàmic és l’existència d’una funció de Lyapunov, la qual és, però, difícil de trobar. Aquest treball és una exploració de com els transformers aconsegueixen trobar-la en molt més casos que les tècniques tradicionals. La referència inicial d’aquest treball és “Global Lyapunov functions: a long-standing open problem in […]
Els polítops són generalitzacions dels polígons i poliedres en dimensió superior. Com estan definits a partir de vèrtexs, arestes, cares, etc., es poden representar de manera senzilla en un ordinador. Aquest treball és un estudi de com s’han aplicat tècniques de machine learning, especialment reinforcement learning, a l’estudi dels polítops, amb especial interés en l’anomenada […]
En 1914, Ramanujan va proposar el següent problema en la revista de la Societat Matemàtica Índia: “prova que $$ ( \frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5}+\ldots ) + \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{\ldots}}}}=\sqrt{\frac{\pi e}{2}}.”$$ Entre d’altres, Ramanujan és famós perque, durant la seua carrera matemàtica, va demostrar o conjecturar moltes fórmules com aquesta. En 2020, un grup d’investigadors va introduir la […]
Estem acostumats, en qualsevol espai mètric, a poder considerar una bola oberta tan menuda com vullguem. T’imagines una topologia on tots els oberts són enormes? Potser l’exemple més famós és la topologia de Zariski, la més natural quan considerem conjunts definits com l’anul·lació de polinomis (per exemple, el graf d’una funció polinòmica o el conjunt […]
Els automorfismes i les transformacions ortogonals de \(\mathbb{R}^n\) són grups ben coneguts que ja apareixen a àlgebra lineal. Juntament amb el grup simplèctic (transformacions que preserven una forma bilineal antisimètrica) formen els grups, anomenats de Lie, clàssics. Al voltant de 1889, Killing va intentar classificar les àlgebres de Lie complexes simples, una versió lineal dels […]
Les estructures de Dirac i la geometria generalitzada són nous enfocaments a les estructures geomètriques. Tenen la capacitat d’englobar estructures ja conegudes (presimplèctiques i Poisson en el cas Dirac, i simplèctiques i complexes en el cas complex generalitzat) i, a més, ofereixen un marc adequat per a algunes teories físiques recents, com mirror symmetry o […]
L’equació \(F=m\cdot a\) es reescriu, en el que s’anomena el formalisme hamiltonià, en termes d’un bivector anomenat estructura de Poisson. Les estructures de Poisson són un objecte amb interés tant físic (també en mecànica quàntica o teoria de cordes) com matemàtic (en geometria diferencial, algebraica o teoria de representacions). Aquest treball consisteix en la comprensió […]
Malgrat que es coneixen bé els polígons que es poden construir amb regle i compàs, si fem dues marques al regle, és encara un problema obert saber quins polígons regulars podem construir. Fa tan sols deu anys es va provar que l’endecàgon regular, el qual no és construible amb regle i compàs, sí és construible […]