Sigui \(A\subset \mathbb{Z}\) un conjunt finit. Diem que \(A\) tessel·la el conjunt dels nombres enters si existeix un conjunt \(B\subset \mathbb{Z}\) tal que qualsevol nombre \(n\in \mathbb{Z}\) es pot escriure com \(a+b=n\), amb \(a\in A\) i \(b\in B\), de manera única. Intuïtivament, podem pensar que és possible “cobrir” el conjunt dels enters, sense superposició, amb translacions del conjunt \(A\):

Figura: Tessel·lació de \(\mathbb{Z}\) donada pel conjunt \(A=\{0,1,8\}\) (colors diferents corresponen a translacions diferents d’\(A\); en aquest cas, \(B=3\mathbb{Z}\)).

Les tessel·lacions dels enters estan íntimament connectades amb la conjectura de Fuglede per a unions d’intervals unitat, que les relaciona amb l’exist`encia de bases ortonormals de funcions exponencials \(E(\Lambda)={e^{2\pi i \lambda x}}_{\lambda\in \Lambda}\) per a determinats espais \(L^2\). De manera precisa, si \(A={a_1,\ldots ,a_n}\subset \mathbb{Z}\) i
$$
\Omega= \bigcup_{k=1}^n [a_k,a_k+1),
$$
la conjectura de Fuglede afirma que l’espai \(L^2(\Omega)\) admet una base ortonormal de funcions exponencials de la forma \(E(\Lambda)\) si i només si \(A\) tessel·la els enters (el cas m\’es simple és el de la base de Fourier, on \(n=1\) i \(\Lambda=\mathbb{Z}\)).
L’objectiu d’aquesta línia de treball és comprendre quina és la relació d’aquests conceptes en l’àmbit de la conjectura de Fuglede, i alguns dels casos particulars en els quals s’ha aconseguit demostrar aquesta conjectura (veure referències). També es poden estudiar casos més generals, en dimensions més altes i amb conjunts de diferent estructura, de la conjectura de Fuglede.


Bibliografia (orientativa)

  1. D. E. Dutkay and C.-K. Lai, Some reductions of the spectral set conjecture to integers, Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 156 (2014), 123–135.

  2. S. Konyagin and I. Łaba, Spectra of certain types of polynomials and tiling of integers with translates of finite sets, J. Number Theory 103 (2) (2003), 267–280.

  3. I. Łaba, The spectral set conjecture and multiplicative properties of roots of polynomials, J. Lond. Math. Soc., II. Ser. 65 (3) (2002), 661–671.

  4. R. Shi, Fuglede’s conjecture holds on cyclic groups \(\mathbb{Z}_{pqr}\), Discrete Anal. paper No. 14 (14pp.) (2019).

  5. T. Tao, Some notes on the Coven-Meyerowitz conjecture, https://terrytao.wordpress.com/2011/11/19/some-notes-on-the-coven-meyerowitz-conjecture