Sigui \(A\subset \mathbb{Z}\) un conjunt finit. Diem que \(A\) tessel·la el conjunt dels nombres enters si existeix un conjunt \(B\subset \mathbb{Z}\) tal que qualsevol nombre \(n\in \mathbb{Z}\) es pot escriure com \(a+b=n\), amb \(a\in A\) i \(b\in B\), de manera única. Intuïtivament, podem pensar que és possible “cobrir” el conjunt dels enters, sense superposició, amb translacions del conjunt \(A\):
Figura: Tessel·lació de \(\mathbb{Z}\) donada pel conjunt \(A=\{0,1,8\}\) (colors diferents corresponen a translacions diferents d’\(A\); en aquest cas, \(B=3\mathbb{Z}\)).
L’objectiu inicial d’aquest treball és entendre en profunditat els resultats fonamentals dels articles [1] i [3], on s’estudien condicions necessàries i suficients que ha de satisfer un conjunt \(A\) per tal de tessel·lar \(\mathbb{Z}\) en termes de les seves propietats aritmètiques.
En general, és difícil demostrar que les condicions necessàries i les condicions suficients que ha de satisfer \(A\) per tal de tessel·lar \(\mathbb{Z}\) coincideixen, i sovint es consideren hipòtesis addicionals sobre el conjunt \(A\) per tal d’aconseguir-ho. En particular, a l’article [3] només es va aconseguir suposant que \(|A|\) (la cardinalitat d’\(A\)) és un nombre primer, i a l’article [1] només per al cas on \(|A|\) té, com a molt, dos factors primers diferents.
Degut a aquestes limitacions, hi ha un cert interès en intentar generalitzar els resultats de [1], suposant, per exemple, que \(|A|\) té tres factors primers o menys [2], o que \(|A|\) no té cap divisor que sigui el quadrat d’un nombre natural més gran que 1 [4,5].
L’objectiu d’aquest TFG serà estudiar en detall els mètodes utilitzats en les generalitzacions esmentades (i possiblement en d’altres), les diferències que presenten respecte als resultats de [1], i les limitacions que tenen en relació al cas general.
Bibliografia (orientativa)
E. M. Coven and A. Meyerowitz, Tiling the integers with translates of one finite set, J. Algebra 212 (1999), 161–174.
A. Granville, I. Łaba, and Y. Wang, A characterization of finite sets that tile the integers; arXiv:math/0109127
D. J. Newman, Tesselation of integers, J. Number Theory 9 (1977), 107–111.
- R. Shi, Fuglede’s conjecture holds on cyclic groups \(\mathbb{Z}_{pqr}\), Discrete Anal. paper No. 14 (14pp.) (2019).
T. Tao, Some notes on the Coven-Meyerowitz conjecture; https://terrytao.wordpress.com/2011/11/19/some-notes-on-the-coven-meyerowitz-conjecture