{"id":206,"date":"2025-07-02T13:20:46","date_gmt":"2025-07-02T12:20:46","guid":{"rendered":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/?p=206"},"modified":"2025-07-03T11:34:16","modified_gmt":"2025-07-03T10:34:16","slug":"tessellacions-dels-nombres-enters","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/tessellacions-dels-nombres-enters\/","title":{"rendered":"Tessel\u00b7lacions dels nombres enters"},"content":{"rendered":"

<\/p>\n

Sigui \\(A\\subset \\mathbb{Z}\\) un conjunt finit. Diem que \\(A\\) tessel\u00b7la el conjunt dels nombres enters si existeix un conjunt \\(B\\subset \\mathbb{Z}\\) tal que qualsevol nombre \\(n\\in \\mathbb{Z}\\) es pot escriure com \\(a+b=n\\), amb \\(a\\in A\\) i \\(b\\in B\\), de manera \u00fanica. Intu\u00eftivament, podem pensar que \u00e9s possible “cobrir” el conjunt dels enters, sense superposici\u00f3, amb translacions del conjunt \\(A\\):<\/p>\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Figura: Tessel\u00b7laci\u00f3 de \\(\\mathbb{Z}\\) donada pel conjunt \\(A=\\{0,1,8\\}\\) (colors diferents corresponen a translacions diferents d’\\(A\\); en aquest cas, \\(B=3\\mathbb{Z}\\)).<\/p>\n\n\n

<\/p>\n

L’objectiu inicial d’aquest treball \u00e9s entendre en profunditat els resultats fonamentals dels articles [1] i [3], on s’estudien condicions necess\u00e0ries i suficients que ha de satisfer un conjunt \\(A\\) per tal de tessel\u00b7lar \\(\\mathbb{Z}\\) en termes de les seves propietats aritm\u00e8tiques.

En general, \u00e9s dif\u00edcil demostrar que les condicions necess\u00e0ries i les condicions suficients que ha de satisfer \\(A\\) per tal de tessel\u00b7lar \\(\\mathbb{Z}\\) coincideixen, i sovint es consideren hip\u00f2tesis addicionals sobre el conjunt \\(A\\) per tal d’aconseguir-ho. En particular, a l’article [3] nom\u00e9s es va aconseguir suposant que \\(|A|\\) (la cardinalitat d’\\(A\\)) \u00e9s un nombre primer, i a l’article [1] nom\u00e9s per al cas on \\(|A|\\) t\u00e9, com a molt, dos factors primers diferents.

Degut a aquestes limitacions, hi ha un cert inter\u00e8s en intentar generalitzar els resultats de [1], suposant, per exemple, que \\(|A|\\) t\u00e9 tres factors primers o menys [2], o que \\(|A|\\) no t\u00e9 cap divisor que sigui el quadrat d’un nombre natural m\u00e9s gran que 1 [4,5].

L’objectiu d’aquest TFG ser\u00e0 estudiar en detall els m\u00e8todes utilitzats en les generalitzacions esmentades (i possiblement en d’altres), les difer\u00e8ncies que presenten respecte als resultats de [1], i les limitacions que tenen en relaci\u00f3 al cas general.<\/p>\n\n\n

Bibliografia (orientativa)<\/h3>\n\n\n\n
    \n

  1. E. M. Coven and A. Meyerowitz, Tiling the integers with translates of one finite set<\/em>, J. Algebra 212<\/strong> (1999), 161\u2013174.<\/p><\/li>\n\n\n\n

  2. A. Granville, I. \u0141aba, and Y. Wang, A characterization of finite sets that tile the integers<\/em>; arXiv:math\/0109127<\/a><\/p><\/li>\n\n\n\n

  3. D. J. Newman, Tesselation of integers<\/em>, J. Number Theory 9<\/strong> (1977), 107\u2013111.<\/p><\/li>\n\n\n\n

  4. R. Shi, Fuglede\u2019s conjecture holds on cyclic groups<\/em> \\(\\mathbb{Z}_{pqr}\\), Discrete Anal. paper No. 14 (14pp.) (2019).<\/li>\n\n\n\n

  5. T. Tao, Some notes on the Coven-Meyerowitz conjecture<\/em>; https:\/\/terrytao.wordpress.com\/2011\/11\/19\/some-notes-on-the-coven-meyerowitz-conjecture<\/a><\/p><\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

    <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Sigui \\(A\\subset \\mathbb{Z}\\) un conjunt finit. Diem que \\(A\\) tessel\u00b7la el conjunt dels nombres enters si existeix un conjunt \\(B\\subset \\mathbb{Z}\\) tal que qualsevol nombre \\(n\\in \\mathbb{Z}\\) es pot escriure com \\(a+b=n\\), amb \\(a\\in A\\) i \\(b\\in B\\), de manera \u00fanica. Intu\u00eftivament, podem pensar que \u00e9s possible “cobrir” el conjunt dels enters, sense superposici\u00f3, amb […]<\/p>\n","protected":false},"author":73,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[28],"tags":[38],"class_list":["post-206","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-algebra","tag-alberto-debernardi-pinos"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/206","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/users\/73"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=206"}],"version-history":[{"count":20,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/206\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":281,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/206\/revisions\/281"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=206"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=206"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=206"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}