El problema de la converg\u00e8ncia de les s\u00e8ries de Fourier d’una funci\u00f3 \\(f \\in L^2(\\mathbb{T})\\) ha estat un dels temes centrals de l’an\u00e0lisi harm\u00f2nica des del segle XIX. Una fita significativa en aquest cam\u00ed \u00e9s el teorema de Kolmogorov\u2013Seliverstov\u2013Plessner, que estableix un criteri suficient per a la converg\u00e8ncia puntual gaireb\u00e9 arreu de la s\u00e8rie de Fourier d’una funci\u00f3.<\/p>\n
Es tracta de provar el Teorema de Kolmogorov-Seliverstov-Plessner<\/strong> (1925), que estableix que El teorema de Kolmogorov\u2013Seliverstov\u2013Plessner va representar un pas fonamental cap al teorema de Carleson<\/strong>. Encara que exigia una condici\u00f3 extra sobre els coeficients, va proporcionar eines i intu\u00efcions que van ser crucials per al desenvolupament de t\u00e8cniques modernes.<\/p>\n Les idees emprades en la demostraci\u00f3 d\u2019aquest teorema constitueixen un antecedent directe de la t\u00e8cnica de les stopping times<\/em>, una eina fonamental en l\u2019an\u00e0lisi harm\u00f2nica moderna que permet segmentar l\u2019espai de manera adaptativa per controlar el comportament local de les funcions. A m\u00e9s, ja s\u2019hi aplica de forma incipient la t\u00e8cnica de linealitzaci\u00f3 d\u2019operadors maximals. La prova tamb\u00e9\u00a0 cont\u00e9 altres t\u00e8cniques clau que avui formen part del nucli de l\u2019an\u00e0lisi moderna, com la funci\u00f3 maximal de Hardy\u2013Littlewood<\/strong>, essencial per establir resultats de converg\u00e8ncia gaireb\u00e9 per tot.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" El problema de la converg\u00e8ncia de les s\u00e8ries de Fourier d’una funci\u00f3 \\(f \\in L^2(\\mathbb{T})\\) ha estat un dels temes centrals de l’an\u00e0lisi harm\u00f2nica des del segle XIX. Una fita significativa en aquest cam\u00ed \u00e9s el teorema de Kolmogorov\u2013Seliverstov\u2013Plessner, que estableix un criteri suficient per a la converg\u00e8ncia puntual gaireb\u00e9 arreu de la s\u00e8rie de […]<\/p>\n","protected":false},"author":71,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[29],"tags":[37],"class_list":["post-256","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-matematica","tag-joaquim-martin"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/256","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/users\/71"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=256"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/256\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":257,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/256\/revisions\/257"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=256"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=256"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=256"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
\n$$
\nS_n g(x)=O\\left( \\sqrt[2]{\\log n}\\right),\\qquad \\mbox{a.e.} \\,x,\\; g
\n\\in L^2(\\mathbb{T}).
\n$$
\nEn particular permet deduir que la s\u00e8rie de qualsevol funci\u00f3 \\(f\\) que compleixi
\n$$
\n\\sum_{n\\in \\mathbb{Z}}|\\hat{f}(n)|\\log^+|n|<\\infty,\\qquad
\n(\\log^+|n|=\\max(0,\\log|n|)
\n$$
\nconvergeix a la funci\u00f3 en gaire b\u00e9 tot punt.<\/p>\n