La Teoria Qualitativa \u00e9s una de les branques m\u00e9s joves de les matem\u00e0tiques amb poc m\u00e9s d’un segle de vida. Sorgeix de la necessitat de trobar formes alternatives de resoldre equacions diferencials (especialment sistemes) sense haver de trobar una
soluci\u00f3 espec\u00edfica.
La Teoria Qualitativa es pot aplicar a una gran quantitat deproblemes diferents. En problemes molt generals pot donar algunes solucions locals, per\u00f2 en problemes m\u00e9s concrets pot arribar a obtenir solucions globals.
Una de les aplicacions on m\u00e9s resultats s’estan obtenin es troba en la resoluci\u00f3 de sistemes d’equacions diferencials polinomials.
Les equacions diferencials lineals ja van ser completament resoltes a principis del segle XIX, fins i tot en dimensi\u00f3 n arbitraria. Sembla natural doncs preguntar-se per les equacions diferencials quadr\u00e0tiques, \u00e9s a dir, on les derivades venen donades per polinomis de grau 2 com a molt en les variables.
Doncs resulta que aquest problema, fins i tot en dimensi\u00f3 2, continua obert, i \u00e9s desconeix encara quantes solucions diferents pot tenir un sistema d’aquesta mena. Sembla una mica dif\u00edcil de creure donat que molts altres problemes polinomials de grau 2, com la classificaci\u00f3 de les c\u00f2niques, o de les qu\u00e0driques han estat resolts fa molt de temps, aquest continua obert des de fa m\u00e9s de 100 anys. Potser si diem que els sistemes diferencials lineals en el pla tenen nom\u00e9s 10 possibles solucions, i en canvi els quadr\u00e0tics en tenen mes de mil, es pugui entendre el per qu\u00e8 de la dificultat.
Al llarg dels darrers cent anys s’han estudiat centenars de fam\u00edlies de sistemes diferencials quadr\u00e0tics. El m\u00e8tode cl\u00e0ssic d’estudi d’aquestes fam\u00edlies ha estat buscar les seves singularitats, finites i infinites, i tractar d’avaluar el Jacobi\u00e0 en aquests punts.
Aix\u00f2 ha obligat a buscar formes normals on al menys dues singularitats finites fossin senzilles de trobar.
Per\u00f2 aix\u00f2 ha limitat molt el nombre de par\u00e0metres que podien arribar a deixar-se com a graus de llibertat. Tradicionalment, s’han pogut estudiar fam\u00edlies amb fins a 3 par\u00e0metres i els pocs estudis amb fam\u00edlies de 4 par\u00e0metres o m\u00e9s, estan sota revisi\u00f3 doncs s’han detectat alguns errors en ells.
Recentment, un parell de professors de la UAB juntament amb d’altres col\u00b7laboradors internacionals, han desenvolupat un m\u00e8tode que permet estendre aquests estudis a fam\u00edlies de 4 par\u00e0metres (i fins i tot 5) sense necessitat de fixar (ni tan sols localitzar)
els punts singulars. Aix\u00f2 ha convertit treballs de fi de grau de fa 30 anys en simples exercicis, i tasques de tesis en treballs de fi de grau.
En aquesta l\u00ednia proposo doncs diverses tasques d’investigaci\u00f3 que considero adequades per a un treball de fi de grau. Totes elles impliquen estudiar una fam\u00edlia de sistemes diferencials quadr\u00e0tics amb 4 par\u00e0metres. De fet, i amb l’experi\u00e8ncia de treballs similars propossats el curs 21-22, i 24-25 sabem que aix\u00f2 son treballs de recerca pura, on sabem el tipus de resultat que busquem, per\u00f2 no si seran uns quants casos o un munt. Per tant no podem garantir que en temps previst per un TFG es pugui fer l’estudi complert. Si aquest \u00e9s el cas, ens limitarem a fer un estudi parcial i deixarem per un futur TFM el poder-lo completar (com ha estat un dels TFG’s del 21-22).
Els alumnes rebran informaci\u00f3 avan\u00e7ada sobre Teoria Qualitativa, i s’hauran de llegir diversos articles on es resolen sistemes similars per tal d’assimilar la metodologia. Tamb\u00e9 rebran els programes inform\u00e0tics necessaris per poder-los resoldre. Els caldr\u00e0 adaptar els programes al problema concret que hagin escollit.
Els resultats d’aquests treballs son factibles de ser publicats en revistes matem\u00e0tiques (dos TFG’s del curs 21-22 ja estan en proc\u00e9s de publicaci\u00f3) i serviran per engrandir la base de dades del conjunt de sistemes diferencials quadr\u00e0tics.
<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
La Teoria Qualitativa \u00e9s una de les branques m\u00e9s joves de les matem\u00e0tiques amb poc m\u00e9s d’un segle de vida. Sorgeix de la necessitat de trobar formes alternatives de resoldre equacions diferencials (especialment sistemes) sense haver de trobar unasoluci\u00f3 espec\u00edfica. La Teoria Qualitativa es pot aplicar a una gran quantitat deproblemes diferents. En problemes molt […]<\/p>\n","protected":false},"author":79,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[30],"tags":[41],"class_list":["post-337","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematica-aplicada","tag-joan-c-artes"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/337","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/users\/79"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=337"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/337\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":371,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/337\/revisions\/371"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=337"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=337"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=337"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}