La Teoria Qualitativa \u00e9s una de les branques m\u00e9s joves de les matem\u00e0tiques amb poc m\u00e9s d’un segle de vida. Sorgeix de la necessitat de trobar formes alternatives de resoldre equacions diferencials (especialment sistemes) sense haver de trobar una
soluci\u00f3 espec\u00edfica.
La Teoria Qualitativa es pot aplicar a una gran quantitat de problemes diferents. En problemes molt generals pot donar algunes solucions locals, per\u00f2 en problemes m\u00e9s concrets pot arribar a obtenir solucions globals.
Una de les aplicacions on m\u00e9s resultats s’estan obtenint es troba en la resoluci\u00f3 de sistemes d’equacions diferencials polinomials.
Les equacions diferencials lineals ja van ser completament resoltes a principis del segle XIX, fins i tot en dimensi\u00f3 n arbitraria. Sembla natural doncs preguntar-se per les equacions diferencials quadr\u00e0tiques, \u00e9s a dir, on les derivades venen donades per polinomis de grau 2 com a molt en les variables.
Doncs resulta que aquest problema, fins i tot en dimensi\u00f3 2, continua obert, i es desconeix encara quantes solucions diferents pot tenir un sistema d’aquesta mena. Sembla una mica dif\u00edcil de creure donat que molts altres problemes polinomials de grau 2, com la classificaci\u00f3 de les c\u00f2niques, o de les qu\u00e0driques han estat resolts fa molt de temps, aquest continua obert des de fa m\u00e9s de 100 anys. Potser si diem que els sistemes diferencials lineals en el pla tenen nom\u00e9s 10 possibles solucions, i en canvi els quadr\u00e0tics en tenen mes de mil, es pugui entendre el per qu\u00e8 de la dificultat.
Al llarg dels darrers cent anys s’han estudiat centenars de fam\u00edlies de sistemes diferencials quadr\u00e0tics.
Tradicionalment la forma d’estudiar els sistemes diferencials quadr\u00e0tics ha estat la de buscar formes normals amb algunes propietats geom\u00e8triques o topol\u00f2giques que redu\u00efssin el nombre de par\u00e0metres, i trobar diagrames de bifurcaci\u00f3 que delimitessin les regions on els retrats canvien. De fet els altres dos TFG’s proposats i 6 TFG’s
ja fets van en aquesta direcci\u00f3.
Per\u00f2 aquesta t\u00e8cnica no permet arribar als retrats de fase m\u00e9s gen\u00e8rics, doncs el nombre de par\u00e0metres es massa gran.
Al 1998 es va fer el primer treball en que enlloc de buscar retrats de fase a partir d’una forma normal, es partia de generar tot el conjunt de retrats que fossin estructuralment estables, \u00e9s a dir, que no canviessin per motiu de petites pertorbacions, i aleshores del conjunt d’aquests retrats potencialment realitzables, es buscava a la bibliografia si ja havien aparegut en algun article, o es podien obtenir a partir d’algun altra ja conegut, o simplement eren impossibles i calia demostrar-ho. D’aquesta manera es van trobar els 44 retrats de fase de sistemes quadr\u00e0tics estructuralment estables m\u00f2dul cicles l\u00edmit. Tamb\u00e9 s’anomenen els retrats de codimensi\u00f3 zero.
Uns anys m\u00e9s tard es va generar de la mateixa manera el conjunt de retrats potencialment realizables de codimensi\u00f3 1, i tamb\u00e9 es va aconseguir acabar.
Ara hi ha un projecte per aconseguir tots els retrats de fase de codimensi\u00f3 2. Aquest projecte s’ha subdividit en diversos treballs, donada la seva longitud. Alguns d’ells ja estan completament acabats, i d’altres estan en proc\u00e9s. La part que no s’ha comen\u00e7at encara \u00e9s la realitzaci\u00f3 del conjunt de retrats de fase potencialment realitzables per sistemes diferencials quadr\u00e0tics de codimensi\u00f3 2 amb dues connexions de separatrius, i aquesta \u00e9s la tasca que es proposa a l’alumne com a treball.
En funci\u00f3 del nombre de casos que vagin apareguen, si aquest surt molt elevat, pot ser que ens acabem limitant a algun dels subconjunts en que es podria subdividir la tasca. Si es pot fer tota, millor. Un cop feta la llista de tots els retrats potencialment realitzables, de segur que podrem localitzar alguns d’ells que ja han aparegut en alguns treballs, i alguns d’altres podran ser demostrats com a impossibles. Tractarem d’aconseguir tants exemples i proves d’impossibilitat com sigui possible, per\u00f2 de segur que quedaran bastants retrats dels quals no es podr\u00e0 acabar d’assegurar la seva exist\u00e8ncia o impossibilitat, i quedaran per a futurs treballs.
El alumne rebr\u00e0 formaci\u00f3 en les t\u00e8cniques m\u00e9s punteres per estudiar fam\u00edlies de sistemes diferencials quadr\u00e0tics, aix\u00ed com en les formes de classificar els retrats de fase. L’alumne haur\u00e0 de llegir les parts principals d’un parell de llibres i uns articles on es busquen retrats de fase de sistemes quadr\u00e0tics segons aquesta t\u00e8cnica. A m\u00e9s tindr\u00e0 acc\u00e9s a una base de dades creada en un TFG del curs 24-25 que li facilitar\u00e0 la tasca de buscar els articles on es poden trobar els retrats que busquem.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
La Teoria Qualitativa \u00e9s una de les branques m\u00e9s joves de les matem\u00e0tiques amb poc m\u00e9s d’un segle de vida. Sorgeix de la necessitat de trobar formes alternatives de resoldre equacions diferencials (especialment sistemes) sense haver de trobar unasoluci\u00f3 espec\u00edfica. La Teoria Qualitativa es pot aplicar a una gran quantitat de problemes diferents. En problemes […]<\/p>\n","protected":false},"author":79,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[30],"tags":[41],"class_list":["post-341","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematica-aplicada","tag-joan-c-artes"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/341","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/users\/79"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=341"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/341\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":368,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/341\/revisions\/368"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=341"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=341"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=341"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}