{"id":374,"date":"2025-07-11T11:07:11","date_gmt":"2025-07-11T10:07:11","guid":{"rendered":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/?p=374"},"modified":"2025-07-11T11:20:32","modified_gmt":"2025-07-11T10:20:32","slug":"analisi-harmonica-en-lespai-euclidia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/analisi-harmonica-en-lespai-euclidia\/","title":{"rendered":"An\u00e0lisi harm\u00f2nica en l&#8217;espai Euclidi\u00e0"},"content":{"rendered":"\n<p>Fa dos segles, Joseph Fourier va introduir la idea de representar funcions (peri\u00f2diques) com a sumes de funcions trigonom\u00e8triques per estudiar els fen\u00f2mens de transfer\u00e8ncia de calor. Aix\u00f2 va conduir al desenvolupament de les idees de <em>s\u00e8rie de Fourier<\/em> i la <em>transformada de Fourier<\/em>, que s&#8217;han convertit en eines crucials en moltes ci\u00e8ncies te\u00f2riques i aplicades (per exemple, la f\u00edsica, el processament de senyals). Aix\u00f2 va marcar el comen\u00e7ament de l&#8217;<em>an\u00e0lisi harm\u00f2nica<\/em>, una branca variada i encara molt rellevant de l&#8217;an\u00e0lisi. Un aspecte clau de l&#8217;an\u00e0lisi harm\u00f2nica \u00e9s l&#8217;estudi d&#8217;operadors integrals connectats o reminiscents de la transformada de Fourier. Aquests objectes matem\u00e0tics poden ser investigats en diversos contextos (grups de Lie abelians i no abelians, grafs, etc.), tot i que q\u00fcestions fonamentals romanen sense resposta fins i tot en els espais Euclidians est\u00e0ndard. Per exemple, la \\textit{conjectura de restricci\u00f3}, plantejada per Elias Stein en 1967, pregunta per a quins exponents \\(p \\geq 1\\) la transformada de Fourier d&#8217;una funci\u00f3 en l&#8217;espai de Lebesgue \\(L^p(\\mathbb{R}^n)\\) es pot restringir a varietats apropiades de dimensi\u00f3 inferior a \\(n\\). Aquest problema est\u00e0 profundament connectat amb l&#8217;estudi d&#8217;equacions dispersives, teoria de nombres i geometria. Se sap, per exemple, que la conjectura de restricci\u00f3 implica la <em>conjectura de Kakeya<\/em>, que afirma que qualsevol subconjunt de \\(\\mathbb{R}^n\\) que contingui un segment unitari en totes les direccions ha de ser &#8220;\\(n\\)-dimensional&#8221; en el sentit de la seva dimensi\u00f3 de Hausdorff. Una possible proposta de TFG podria ser l\u2019estudi d\u2019aspectes relacionats amb la conjectura de restricci\u00f3.<\/p>\n<p><strong>Les\/els estudiants interessats en aquests temes poden contactar personalment amb <\/strong><strong>mi <\/strong>(carmelo.puliatti@uab.cat)<strong> i podem acordar un projecte despr\u00e9s d\u2019una reuni\u00f3.<\/strong><\/p>\n\n\n<p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Fa dos segles, Joseph Fourier va introduir la idea de representar funcions (peri\u00f2diques) com a sumes de funcions trigonom\u00e8triques per estudiar els fen\u00f2mens de transfer\u00e8ncia de calor. Aix\u00f2 va conduir al desenvolupament de les idees de s\u00e8rie de Fourier i la transformada de Fourier, que s&#8217;han convertit en eines crucials en moltes ci\u00e8ncies te\u00f2riques i [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":68,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[29],"tags":[42],"class_list":["post-374","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-matematica","tag-carmelo-puliatti"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/374","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/users\/68"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=374"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/374\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":389,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/374\/revisions\/389"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=374"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=374"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=374"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}