{"id":600,"date":"2025-09-03T18:21:26","date_gmt":"2025-09-03T17:21:26","guid":{"rendered":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/?p=600"},"modified":"2025-09-08T20:27:32","modified_gmt":"2025-09-08T19:27:32","slug":"ampliacio-llibreria-per-codis-no-lineals-en-magma","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/ampliacio-llibreria-per-codis-no-lineals-en-magma\/","title":{"rendered":"Ampliaci\u00f3 llibreria per codis no lineals en Magma"},"content":{"rendered":"\n

En aquest projecte es pret\u00e9n dissenyar i implementar noves funcions per a ser afegides en una llibreria de Magma sobre codis correctors d’errors basats en anells \\(\u00a0 \\mathbb{Z}_4 \\) amb \\(p\\) primer [5]. La versi\u00f3 actual d’aquesta llibreria est\u00e0 disponible en la p\u00e0gina web del grup CCSG (http:\/\/ccsg.uab.cat)<\/a> \u00a0i en GitHub (https:\/\/github.com\/merce-github\/MagmaZpAdditiveCodes<\/a>) [3]. La finalitat final \u00e9s que pugui ser incorporada en la distribuci\u00f3 oficial de Magma [2].<\/p>\n

Magma, com es defineix en la seva p\u00e0gina web (http:\/\/magma.maths.usyd.edu.au\/magma\/)<\/a>, “\u00e9s un paquet de programari ampli i ben mantingut, dissenyat per resoldre problemes computacionalment dif\u00edcils en \u00e0lgebra, teoria de nombres, geometria i combinat\u00f2ria. Proporciona un entorn matem\u00e0ticament rigor\u00f3s per al c\u00e0lcul amb objectes algebraics, de teoria de nombres, combinatoris i geom\u00e8trics”. Actualment, les llibreries de Magma ofereixen els algorismes m\u00e9s eficients per treballar amb problemes de teoria de codificaci\u00f3. Aquest software permet crear paquets d’usuari i bases de dades per a poder ser inclosos localment. Magma est\u00e0 escrit amb C i utilitza les funcionalitats d’altres llibreries de C. A m\u00e9s, proporciona una gran quantitat de llibreries per teoria de codis [2].<\/p>\n

Els codis lineals sobre \\(\u00a0 \\mathbb{Z}_4 \\) han estat estudiats i han adquirit rellev\u00e0ncia ja que, despr\u00e9s d\u2019aplicar el mapa de Gray de \\(\u00a0 \\mathbb{Z}_4 \\) a parelles bin\u00e0ries, es poden obtenir codis binaris no lineals millors que qualsevol codi lineal binari conegut amb els mateixos par\u00e0metres. M\u00e9s concretament, Hammons et al. [4] mostren com construir codis binaris no lineals coneguts, com ara els codis de Kerdock i els codis de Delsarte-Goethals, d’aquesta forma. Posteriorment, s\u2019han estudiat i classificat diversos altres codis binaris no lineals constru\u00efts aplicant el mapa de Gray a codis lineals sobre \\(\u00a0 \\mathbb{Z}_4 \\).<\/p>\n

Els codis lineals sobre \\(\u00a0 \\mathbb{Z}_{p^s} \\), amb \\(p\\) primer, van ser estudiats per Blake [1] i Shankar [6] els anys 1975 i 1979, respectivament. Tanmateix, l\u2019estudi dels codis sobre anells en general va augmentar significativament despr\u00e9s de la publicaci\u00f3 de [4] sobre codis lineals sobre \\(\u00a0 \\mathbb{Z}_4 \\). Els codis lineals sobre \\(\u00a0 \\mathbb{Z}_{p^s} \\) es poden veure com una generalitzaci\u00f3 dels codis lineals sobre \\(\u00a0 \\mathbb{Z}_4 \\) i dels codis lineals binaris. Com que no existeix cap programari simb\u00f2lic per treballar amb codis lineals sobre \\(\u00a0 \\mathbb{Z}_{p^s} \\), utilitzant algunes de les llibreries ja implementades en Magma, els membres del Combinatorics, Coding and Security Group (CCSG) han estat desenvolupant un nou paquet de Magma, que incorpora les funcionalitats b\u00e0siques per a aquests codis. Concretament, generalitza la major part de les funcions conegudes per a codis lineals sobre l\u2019anell \\(\u00a0 \\mathbb{Z}_4 \\) a codis lineals sobre \\(\u00a0 \\mathbb{Z}_{p^s} \\), mantenint tota la funcionalitat per als codis sobre \\(\u00a0 \\mathbb{Z}_4 \\) i afegint noves funcions que, no nom\u00e9s generalitzen les anteriors, sin\u00f3 que introdueixen noves variants quan \u00e9s necessari [3]. L\u2019objectiu principal del projecte \u00e9s desenvolupar algunes noves funcions en aquesta llibreria per augmentar la seva funcionalitat.<\/p>\n

Les funcions a implementar s’han de desenvolupar seguint l’estil i requeriments de la llibreria on seran incloses. A m\u00e9s, s’ha de seguir la metodologia, realitzant test de proves i test d’integraci\u00f3 amb la llibreria actual. El projecte es desenvolupar\u00e0 dintre del Dept. d’Enginyeria de la Informaci\u00f3 i de les Comunicacions i utilitzar\u00e0 la infraestructura que disposa aquest departament. A l’estudiant se li proporcionar\u00e0 les eines necess\u00e0ries (bibliografia, infraestructura b\u00e0sica i eines de desenvolupament) per poder completar el projecte dintre d’un semestre.<\/p>\n

Merc\u00e8 Villanueva\u00a0 (merce.villanueva@uab.cat)<\/p>\n

Refer\u00e8ncies:<\/strong><\/p>\n

[1] I. F. Blake, \u201cCodes over integer residue rings,\u201d Information and Control<\/em>, vol. 29, no. 4, pp. 295\u2013300, 1975.<\/p>\n

[2] J. J. Cannon, W. Bosma, C. Fieker, and A. Steel (Eds.) Handbook of Magma Functions<\/em>, Edition 2.26-4, 6347 pages, 2021.<\/p>\n

[3] C. Fern\u00e1ndez-C\u00f3rdoba, A. Torres-Mart\u00edn, and M. Villanueva, \u201cLinear Codes Over the Integer Residue Ring \\(Z_{p^m}\\) : A Magma Package\u201d Magma Package 1.0, Universitat Aut\u00f2noma de Barcelona, 2024.<\/p>\n

[4] A. R. Hammons, P. V. Kumar, A. R. Calderbank, N. J. A. Sloane, and P. Sol\u00e9, \u201cThe Z4-linearity of kerdock, preparata, goethals and related codes,\u201d IEEE Trans. on Information Theory<\/em>, vol. 40, no. 2, pp. 301-319, 1994.<\/p>\n

[5] F. I. MacWilliams and N. J. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes<\/em>, North-Holland, New York, 1977.<\/p>\n

[6] P. Shankar, \u201cOn BCH codes over arbitrary integer rings,\u201d IEEE Trans. on Information Theory<\/em>, vol. 25, no. 4, pp. 480\u2013483, 1979.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

En aquest projecte es pret\u00e9n dissenyar i implementar noves funcions per a ser afegides en una llibreria de Magma sobre codis correctors d’errors basats en anells \\(\u00a0 \\mathbb{Z}_4 \\) amb \\(p\\) primer [5]. La versi\u00f3 actual d’aquesta llibreria est\u00e0 disponible en la p\u00e0gina web del grup CCSG (http:\/\/ccsg.uab.cat) \u00a0i en GitHub (https:\/\/github.com\/merce-github\/MagmaZpAdditiveCodes) [3]. La finalitat […]<\/p>\n","protected":false},"author":84,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[28,1],"tags":[52],"class_list":["post-600","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-algebra","category-general","tag-merce-villanueva"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/600","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/users\/84"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=600"}],"version-history":[{"count":11,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/600\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":652,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/600\/revisions\/652"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=600"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=600"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mat.uab.cat\/web\/tfg\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=600"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}