La teoria de pesos cl\u00e0ssica estableix una s\u00e8rie de condicions sobre funcions (anomenades pesos) \\(w\\in L^1_{\\rm loc}(\\mathbb R^d)\\) per tal que l’operador maximal de Hardy-Littlewood<\/p>\n
\\[Mf(x)=\\sup_{r>0}\\frac{1}{m(B_r(x))}\\int_{B_r(x)} f(y)\\, w(y)\\, dm(y),\\]<\/p>\n
on \\(m\\) representa la mesura de Lebesgue, sigui fitat en algun espai \\(L^p(m)\\).\u00a0 Entre aquestes condicions es troben les classes de Muckenhoupt \\(A_p\\), la seva uni\u00f3 \\(A_\\infty\\), els pesos que satisfan una desigualtat de H\u00f6lder invertida \\(B_q\\), la seva uni\u00f3 \\(B_1\\), … Resulta, de fet, que \\(B_1=A_\\infty\\), \u00e9s a dir que una mesura t\u00e9 maximal fitat en algun \\(L^p\\) si i nom\u00e9s si satisf\u00e0 una desigualtat de H\u00f6lder invertida per algun exponent \\(q\\).<\/p>\n
En un article de Michael Brian Korey de 1998 s’estudien aquestes condicions i alguna m\u00e9s, la seva relaci\u00f3 amb pesos doblants a tot l’espai ambient, aix\u00ed com condicions asimpt\u00f2tiques sobre aquestes classes, \u00e9s a dir, suposant que les constants que apareixen en controlar les diferents condicions, milloren a mida que agafem escales m\u00e9s petites.<\/p>\n
Tota aquesta teoria es pot aplicar quan substitu\u00efm la mesura de Lebesgue per altres mesures arbitr\u00e0ries que siguin doblants en un espai m\u00e8tric, per exemple a \\(\\mathbb\u00a0 R^d \\). Parlem doncs de mesures \\(\\mu\\) que satisfacin que<\/p>\n
\\[\\mu(2B)\\leq C_\\mu \\mu(B)\\]<\/p>\n
per tota bola \\(B\\) centrada en el suport de \\(\\mu\\).<\/p>\n
Una part d’aquesta teoria es pot trobar al cap\u00edtol de pesos del llibre [2] que estem escrivint conjuntament amb en Xavier Tolsa, per\u00f2 queda camp per c\u00f3rrer, per exemple mirar quines parts de l’article de Korey es poden portar a aquest context de mesures doblants de base, buscar contraexemples o demostrar l’equival\u00e8ncia entre \\(A_\\infty\\) i \\(B_1\\), veure en quins casos s’hereta la condici\u00f3 de doblament per part del pes \\(w\\), o trobar contraexemples, etc\u00e8tera.<\/p>\n
Prerequisits: teoria de la mesura abstracta.<\/p>\n
Altament recomanat: an\u00e0lisi funcional i an\u00e0lisi harm\u00f2nica.<\/p>\n
Primers passos: entendre els primers cap\u00edtols del llibre de Pertti Mattila (o Evans-Gariepy), la teoria de pesos cl\u00e0ssica (per exemple al llibre del Duoandikoetxea o al Grafakos) i les xarxes di\u00e0diques en conjunts de Tuomas Hyt\u00f6nen i Anna Kairema. Si es volen mirar q\u00fcestions de l’article de Korey, conv\u00e9 estudiar la desigualtat de John-Nirenberg tamb\u00e9.<\/p>\n
[1] Michael B. Korey. (1998). Ideal Weights: Asymptotically Optimal Versions of Doubling, Absolute Continuity, and Bounded Mean Oscillation, JFAA, 4(4-5), 491-519.<\/p>\n