Funcions L

Francesc Bars 19 Febrer 97

1 Introducció i notació

Considerarem sempre F un cos global i 𝔸 l’anell de les adeles de F, F_{v} el cos local amb la valoració v, G_{𝔸}, G_{F}, G_{F_{v}} o G_{v} .denotaran GL(2) de les adeles, del cos F o del cos F_{v} respectivament, igualment denotarem el compacte maximal d’aquests GL(2) per K si correspon a G_{F} i K_{v} en el cas G_{F_{v}} = G_{v}. Considerem ψ un grossencaracter i considerem R^{ψ}(g) la representació unitària de G_{𝔸} en L^{2}(G_{F} \ G_{𝔸}, ψ) donada per traslació per la dreta. Llavors es tenia:

R^{ψ}(g) = ⊕_{j}π^{j} ⊕ ∫ π^{s} ds

una descomposició en components irreductibles on recordem que una representació irreductible unitària de G_{𝔸} s’anomenava forma automorfa si era equivalent a algun π^{j} ó π^{s}, i deiem que era forma cuspidal si era equivalent a algun π^{j} per algun grossencaracter ψ. La finalitat d’aquesta exposició és introduir uns objectes, les funcions L, que ens permetran caracteritzar les formes cuspidals anteriors, és a dir

R_{0}^{ψ}(g) = ⊕_{j}π^{j}

Per aconseguir l’anterior caldrà explotar el següent resultat explicitat en la sessió del dia 12 de Febrer:

Teorema 1.1. Tota representació π irreductible admissible unitària de G_{𝔸} és factoritzable; és a dir

π = ⊗π_{v}

on π_{v} són representacions irreductibles admissibles unitàries de G_{v}; a més les π_{v} són univocament determinades per π.

Nota 1.2. L’anterior resultat és vàlid per representacions irred. admissibles no necesàriament unitàries, on llavors els π_{v} corresponents són rep.irred. admissibles.

Fer esment que per poder construir el producte ⊗π_{v} ha de complir-se que si

π_{v} : G_{v} ⟶ H_{v}

llavors per quasi tota valoració v s’ha de complir dimH_{v}^{K_{v}} ≥ 1, així tenim:

Definició 1.3. Una representació π_{v} irreductible admissible de G_{v} v no arquimedià, s’anomena de clase 1 ó esfèrica si la seva restricció a K_{v} conté la representació identitat com a mínim un cop.

2 Motivacions per la definició de la funció L

Fem un petit repàs de com s’havien asignat funcions L en casos coneguts.

2.1 Teoria de Hecke per GL(1, 𝔸)

Si definim aquí que una representació irred. unitària de 𝔸^{∗} = GL(1, 𝔸) és forma automorfa si pasa en la descomposició natural de la representació R(g) de 𝔸^{∗} en L^{2}(F^{∗} \ 𝔸^{∗}) obtenim que les formes automorfes són els grossencaracters de F, i teniem unes funcions L associades a un grossencaracters; recordem-ne un xic com s’associaven aquestes funcions. Considerem ψ grossencaracter on ψ_{v} quasicaracters de F_{v} on

ψ = ∏_{v} ψ_{v}

amb ψ_{v} no ramificat per quasi tot v. Sigui B_{ψ} = {v valoracions|ψ_{v}ramificat}, llavors si v ∉ B_{ψ} posem χ(v) = ψ_{v}(ω_{v}) on ω_{v} denota el generador de l’ideal primer de O_{F_{v}}, on χ es definit en el grup dels F − ideals relativament primers amb B_{ψ}; (el caracter χ és el caracter de Hecke associat al grossencaracter ψ); es definia la funció L per:

L(s, ξ) = ∏_{v∉B_{ψ}}(1 − \frac{χ(v)}{(N(v))^{s}})^{−1} = ∏_{v∉B_{ψ}}(1 − \frac{ψ_{v}(ω_{v})}{|ω_{v}|^{−s}})^{−1}

Teorema 2.1.1.

1. L(s, χ) té continuació analítica com a funció meromorfa al plà complex. Si χ no és trivial llavors L(s, χ) és entera; altrament té un pol simple en s = 1 i n’és l’única singularitat.

2. L(s, χ) satisfà una equació funcional del tipus següent:

hi ha una constant c i un factor gamma Γ(s, χ) complint que si denotem

R(s, χ) = s(s − 1)c^{s}Γ(s, χ)L(s, χ)

és entera i es satisfà

R(1 − s, χ^{−1}) = α(χ)R(s, χ)

on α(χ) és una constant de mòdul 1.

Tate, en la seva tesis va introduir unes funcions zeta i zeta locals que permetien demostrar l’anterior resultat sense pasar per la teoria de funcions theta. Aquestes funcions de Tate eren les següents respectivament:

ζ(f, ψ, s) = ∫_{𝔸^{∗}} f(β)ψ(β)|β|^{s} d^{∗}β

ζ_{v}(f_{v}, ψ_{v}, s) = ∫_{F_{v}^{∗}} f_{v}(β_{v})ψ_{v}(β_{v})|β_{v}|_{v}^{s} d^{∗}β_{v}

on |β| = ∏_{v} |β_{v}|_{v}, ψ = ∏ ψ_{v}, f ∈ S(𝔸) funcions de Schwartz-Bruhat on f = ∏_{v} f_{v}. Es comprova que per Re(s) > 1

ζ(f, ψ, s) = ∏_{v} ζ_{v}(f_{v}, ψ_{v}, s)

i es té el següent resultat de Tate:

Teorema 2.1.2. La funció ζ(f, ψ, s) té prolongació analítica al plà complex, i és una funció entera si ψ no és trivial, i com funció meromorfa sino amb pols en 0 i 1. A més satisfà l’equació funcional

ζ(f, ψ, s) = ζ(f̂, ψ^{−1}, 1 − s)

on (f̂) és la transformada de Fourier de f ∈ S(𝔸).

Es demostra que hi ha una el.lecció dels f_{v} on

∏_{v∉B_{ψ}} ζ_{v}(f_{v}, ψ_{v}, s) = L(s, χ) ∏_{v∉B_{ψ}} χ(∂_{v})^{−1}N(∂_{v})^{s− \frac{1}{2}}

on ∂_{v} denotat da diferent de F_{v}. “Això motiva” en la situació π = ⊗_{v}π_{v} definir uns factors locals per cada π_{v} on

el producte ens doni la funció L definint aquests factors locals mitjançant unes funcions “zeta locals” sobre un espai de funcions convenients.

2.2 La funció L com a transformada de Mellin

Recordem que quan teniem una forma cuspidal clàssica f ∈ S_{k}(N, ψ) (on aquí ψ denota un caracter de Dirichlet) se li associava una funció L com la transformada de Mellin

L(s, f) = ∫_{0}^{∞} f(iy)y^{s} \frac{dy}{y}

. Recordem que a cada forma cuspidal clàssica li feiem correspondre una funció de G_{𝔸} mitjançant:

f ⟼ ϕ_{f}(g) := f(g_{∞}(i))j(g_{∞}, i)^{−k}ψ(k_{0})

on g = γg_{∞}k_{0} g ∈ G_{𝔸_{ℚ}} (definida el dia 18-XII-96). Mirem de “adelitzar” l’anterior integral. Considerem ψ = 1 i N = 1, llavors es pot provar que ϕ_{f}(g) és K_{0} = ∏_{p<∞} K_{p} invariant dreta i és pot escriure la integral anterior per:

L(s, f) = ∫_{ℚ^{∗}\𝔸^{∗}} ϕ_{f} (( \begin{matrix}y & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )) |y|^{s− \frac{1}{2}} d^{∗}y

Es pot construir funcions C^{∞} K − finites en G_{𝔸} anomenades W_{ϕ_{f}} on

ϕ_{f} (( \begin{matrix}y & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )) = ∑_{ξ∈ℚ^{∗}} W_{ϕ_{f}} (( \begin{matrix}ξy & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ))

on llavors es té

L(s, f) = ∫_{ℚ^{∗}\𝔸^{∗}} ∑_{ξ∈ℚ^{∗}} W_{ϕ_{f}} (( \begin{matrix}ξy & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )) |y|^{s− \frac{1}{2}} d^{∗}y = ∫_{𝔸^{∗}} W_{ϕ_{f}} (( \begin{matrix}y & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )) |y|^{s− \frac{1}{2}} d^{∗}y

És a dir la funció L de les formes cuspidals clàssiques es pot pensar com una transformada de Mellin adèlica d’una certa funció especial. Per veure la construcció més explicita de la funció W_{ϕ_{f}} podeu consultar cap3 i pag 106 del [2]. Sugerència: La teoria de Hecke pel cas de GL(1) ens motiva a definir uns factors locals per les representacions π_{v} on el seu producte definiran una funció L que tingui propietats bones (prolongació analítica, equació funcional,…) però la dificultat radica en com triar les funcions de la funcions L locals i com aquestes donin en el cas global una funció que pugui ser com una transformada adèlica d’un cert tipus de funcions sobre G_{𝔸}. Vers aquests camí anem primer a fer un repàs com eren π_{v} rep.irred. adm. per assignar-li després uns factors locals.

3 Representacions irreductibles admissibles

En aquesta secció i en endavant ens centrarem en representacions π_{v} on són representacions admissibles irreductibles admissibles de dimensió infinita, el perquè d’aquesta reducció s’explicarà en l’inici de la cinquena secció.

3.1 Cas v valoració no arquimediana

Recordem que si μ_{1}, μ_{2} dos quasicaracters de F_{v}^{∗} i sigui H(μ_{1}, μ_{2}) l’espai de funcions localment constant ϕ en G_{v} cumplint:

ϕ (( \begin{matrix}t_{1} & ∗ \\ 0 & t_{2} \end{matrix} ) g) = μ_{1}(t_{1})μ_{2}(t_{2}) |\frac{t_{1}}{t_{2}} |^{1/2} ϕ(g)

per tot t_{1}, t_{2} ∈ F_{v}^{∗}. El grup G_{v} actua en H(μ_{1}, μ_{2}) per traslació per la dreta i la representació resultant l’anomenavem representació de sèrie principal i es denota per ρ(μ_{1}, μ_{2}), que és admissible.

Teorema 3.1.1. La representació ρ(μ_{1}, μ_{2}) és irreductible escepte quan μ(x) = μ_{1}μ_{2}^{−1}(x) = |x| ó |x|^{−1}. Si μ(x) = |x|^{−1} llavors ρ(μ_{1}, μ_{2}) conté un subespai 1-dimensional i la representació induida en l’espai del factor resultant és irreductible. Si μ(x) = |x| llavors ρ(μ_{1}, μ_{2}) conté un subespai irreductible de codimensió 1.

Nota 3.1.2. Les representacions irreductibles ρ(μ_{1}, μ_{2}) són denotades per π_{v}(μ_{1}, μ_{2}) i s’anomenen representacions de sèries principals; les representacions irreductibles de dimensió infinita que s’obtenen de representacions ρ(μ_{1}, μ_{2}) quan aquestes són reductibles s’anomenen representacions especials i també les denoten per π_{v}(μ_{1}, μ_{2}).

Com són totes les representacions irreductibles admissibles? això ho soluciona el resultat següent:

Teorema 3.1.3. Sigui π_{v} una representació irred. adm. de G_{v}. Llavors si π_{v} no és supercuspidal és una subrepresentació d’algun ρ(μ_{1}, μ_{2}). Per altra banda si π_{v} és supercuspidal, llavors no és equivalent a cap subquocient de ρ(μ_{1}, μ_{2}).

A nosaltres però ens interesa per podar construir el producte π = ⊗_{v}π_{v} que per quasi tota v π_{v} sigui de classe 1; anem-ho a caracteritzar-ho:

Teorema 3.1.4. Una representació irred. adm de dimensió no finita π_{v} de G_{v} és de classe 1 o esfèrica si i nomes si π_{v} = π_{v}(μ_{1}, μ_{2}) per algun parell de caracters no ramificats de F_{v}^{∗} i π_{v} no sigui una representació especial. A més en aquests cas la representació identitat és continguda exactament un cop en π_{v}. Més encara, si denotem per ϕ_{1}(g) qualsevol funció en l’espai dels vectors K_{v}−invariants en H(μ_{1}, μ_{2}) (que és 1 dimensional per l’afirmació anterior), i sigui T_{ω_{v}} l’operador de Hecke corresponent a la convolució sobre G_{v} amb

la funció característica del doble conjunt K_{v} ( \begin{matrix}ω_{v} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) K_{v}, llavors s’obté que

ϕ_{1}(g) és un vector propi de l’operador de Hecke, i

ϕ_{1} ∗ T_{ω_{v}}(g) = ∫_{G_{v}} ϕ_{1}(gy^{−1})T_{ω_{v}}(y)dy = q^{1/2}(q^{s_{1}} + q^{s_{2}})ϕ_{1}(g)

si μ_{i}(x) = |x|^{s_{i}} (on ω_{v} generador de l’ideal de O_{v} i q^{−1} = |ω_{v}|)

L’anterior resultat ens diu que en les representacions de classe 1 tenen un subespai 1 dimensional molt especial d’allà on es representa el grup, que passa amb les que no són de classe 1?

Teorema 3.1.5. Sigui π_{v} una representació irred. admis. de dimensió no finita de G_{v} amb caracter central ψ. Llavors hi ha un ideal mes gran posible c(π_{v}) de O_{v} on l’espai de vectors u complint

π_{v} (( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )) u = ψ(a)u

per tota

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ Γ_{0}(c(π_{v})) = \{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ K_{v} : c ≡ 0 (mod c(π_{v}))\} =: K_{v}^{c(π_{v})}

és un espai 1-dimensional. c(π_{v}) s’anomena el conductor de π_{v}.

Taula de conductors.

Representació  Conductor
π_{v} de classe1  O_{v}
π_{v} = π_{v}(μ_{1}, μ_{2}) serie principal  (conductor μ_{1})(cond.μ_{2})
π_{v} = π_{v}(μ_{1}, μ_{2}) repr. especial (condμ_{1})^{2} si μ = μ_{1}μ_{2}^{−1} no ramificat
π_{v} = π_{v}(μ_{1}, μ_{2}) repr. especial  ω_{v}O_{v} si μ ramificat
π_{v} supercuspidal  ω_{v}^{N}O_{v}, N enter ≥ 2

També podem caracteritzar les representacions admissibles unitàries:

Teorema 3.1.6. Les repr. irred. admis. unitàries de G_{v} són:

1. les representacions supercuspidals amb caràcter central unitari.

2. la repr. sèrie principal π_{v}(μ_{1}, μ_{2}) amb μ_{1}, μ_{2} unitàries.

3. la repr. sèrie principal amb μ_{2}(x) = \overline{μ_{1}}^{−1}(x) i μ(x) = |x|^{ι}, 0 < ι < 1.

4. la repr. especial amb caracter central unitari.

3.2 Cas v valoració arquimediana

• Cas G_{ℝ}. Igual com en el cas no arquimedià denotem per H(μ_{1}, μ_{2}) l’espai de funcions en G_{ℝ} que són K_{ℝ} finites i que compleixen la mateixa propietat que en el cas no arquimedià, és a dir:

ϕ (( \begin{matrix}t_{1} & ∗ \\ 0 & t_{2} \end{matrix} ) g) = μ_{1}(t_{1})μ_{2}(t_{2}) |\frac{t_{1}}{t_{2}} |^{1/2} ϕ(g)

per tot t_{1}, t_{2} ∈ ℝ^{∗}. Vam veure que tenim una representació ρ(μ_{1}, μ_{2}) de l’àlgebra de Hecke de G_{ℝ} denotada per H(G_{ℝ}) en H(μ_{1}, μ_{2}).

Teorema 3.2.1. De irreductibilitat de ρ(μ_{1}, μ_{2})

1. Si μ_{1}μ_{2}^{−1} no és de la forma t ⟼ t^{n}sgn(t) n enter no nul, llavors H(μ_{1}, μ_{2}) és irreductible sota l’acció de H(G_{ℝ})

2. Si μ_{1}μ_{2}^{−1} = t^{n}sgn(t) amb n positiu llavors H(μ_{1}, μ_{2}) conté exactament un subespai invariant H^{s} on H^{f} = H(μ_{1}, μ_{2})/H^{s} és de dimensió finita.

3. Si μ_{1}μ_{2}^{−1} = t^{n}sgn(t) amb n negatiu llavors hi l’únic subespai invaariant de H(μ_{1}, μ_{2}) és un subespai de dimensió finita que denotarem també per H^{f}.

La representació ρ(μ_{1}, μ_{2}) es denota per π_{ℝ}(μ_{1}, μ_{2}) si és irreductible, i en cas de no ser-ho doncs es denota igual la repres. irred. en la part finita; en canvi la representació que s’indueix en el subespai (o quocient) H^{s} la denotarem per σ_{ℝ}(μ_{1}, μ_{2}) i es pot veure com un membre de la sèrie discreta de G_{ℝ}. Les representacions π_{ℝ}(μ_{1}, μ_{2}) són les anomenades sèries principals de G_{ℝ}.

Teorema 3.2.2. Tota representació irred. admissible de H(G_{ℝ}) és o bé π_{ℝ}(μ_{1}, μ_{2}) ó σ_{ℝ}(μ_{1}, μ_{2})

Nota 3.2.3. En quan a notació σ_{ℝ}(μ_{1}, μ_{2}) = π_{ℝ}(n, t) on n = s_{1} − s_{2} i t = s_{1} + s_{2} si μ_{i}(t) = |t|^{s_{i}}(sgn(t))^{m_{i}}. Per una justificació per aquesta notació consulteu pag 57 a la 59 del [2].

• Cas G_{ℂ}. Aquí també s’obte que tota representació irred. admis. de l’àlgebra de Lie de G_{ℂ}, H(G_{ℂ}), és un subquocient d’algun ρ(μ_{1}, μ_{2}) on ara μ_{1}, μ_{2} són quasicaracters de ℂ^{∗}; però aquí a diferència del cas real és que tot subquocient de ρ(μ_{1}, μ_{2}) és equivalent a una representació irreductible ρ(μ′_{1}, μ′_{2}) per uns quasicaracters apropiats μ′_{1} i μ′_{2}. Per tant no hi ha sèrie discreta.

4 Teoria de Jacquet-Langlands

Anem a assignar a cada representació π_{v}irred. admis. de dimensió no finita, v una valoració de F, uns factors locals L i ε seguint la idea del Tate pel cas de GL(1). Fixem en tota aquesta secció quarta un caràcter aditiu τ de F \ 𝔸 i suposem que τ(x) = ∏_{v} τ_{v}(x_{v}) per x = (x_{v}) en 𝔸. Recordem que en les representacions anteriors sempre existia un únic model de Whittaker local.

Definició 4.1. Sigui π_{v} una repr. irred. admis. de G_{v} i W (π_{v}) de l’espai de Whittaker. Suposem ξ_{v} caracter unitari de F_{v}^{∗}, g ∈ G_{v}, W_{v} ∈ W (π_{v}) i s ∈ ℂ, definim la funció zeta local per:

ζ_{v}(g, ξ_{v}, W_{v}, s) = ∫_{F_{v}^{∗}} W_{v} (( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) g) ξ(a)|a|^{s− \frac{1}{2}} d^{∗}a.

Teorema 4.2.

1. La integral definint ζ_{v}(g, ξ_{v}, W_{v}, s) convergeix per s amb |Re(s)| suficientment gran.

2. Hi ha un únic factor d’Euler llevat de constants L(s, ξ_{v} ⊗ π_{v}) amb la propietat que

\frac{ζ_{v}(g, ξ_{v}, W_{v}, s)}{L(s, ξ_{v} ⊗ π_{v})}

és una funció entera de s ∀g, ξ_{v}, i W_{v}; i complint que:

ζ_{v}(1, ξ_{v}, W_{v}^{0}, s) = L(s, ξ_{v} ⊗ π_{v})

per un element apropiat W_{v}^{0} de W_{v}(π_{v}).

3. La funció ζ_{v}(g, ξ_{v}, W_{v}, s) te continuació analítica en tot el plà complex i satisfà l’equació funcional:

\frac{ζ_{v}(g, ξ_{v}, W_{v}, s)}{L(s, ξ_{v} ⊗ π_{v})}ε(π_{v}, ξ_{v}, s) = \frac{ζ_{v}(wg, ξ_{v}^{−1}ψ_{v}^{−1}, W_{v}, 1 − s)}{L(1 − s, ψ_{v}^{−1}ξ_{v}^{−1} ⊗ π_{v})}

on ε(π_{v}, ξ_{v}, s) és independent de g i W_{v}, ψ_{v} és el caracter central de π_{v} ,

i w = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) .

Nota 4.3.

1. En el cas v no arquimedià és clar W_{v} ∈ W (π_{v}) llavors

W_{v} ⊗ η_{v} ∈ W (π_{v} ⊗ η_{v})

on η_{v} és un quasicaracter de F_{v}.

2. Fent ξ_{v} = 1 en el teorema anterior s’obtenen les definicions dels factors L i ε donades en el [3] pag.75, 195 i 237. En aquests cas denotem:

ε(π_{v} ⊗ η_{v}, s) := ε(π_{v} ⊗ η_{v}, 1, s)

on η_{v} quasicaracter de F_{v}, i es suposa que els factors L coincideixen.

3. El factor L local no depen del caracter aditiu fitxat al començament d’aquesta secció. En canvi el factor ε si; sigui τ′_{v}(x) = τ_{v}(bx) b ∈ F_{v}^{∗} llavors s’obté

ε_{τ_{v′}} (π_{v}, s) = ψ_{v}(b)|b|^{2s−1}ε_{τ_{v}}(π_{v}, s)

on ψ_{v} és el caracter central de π_{v}.

4. La teoria de Tate afirma que hi un factor d’Euler L(s, η_{v}) complint en la notació del capítol anterior

\frac{ζ_{v}(f_{v}, η_{v}, s)}{L(s, η_{v})}

és entera per tota f ∈ S(F_{v}) i

\frac{ζ_{v}(f_{v}, η_{v}, s)}{L(s, η_{v})}ε(η_{v}, s) = \frac{ζ(f_{v}, η̃_{v}, 1 − s)}{L(1 − s, η̃_{v})}

per alguna funció (exponencial) ε(η_{v}, s) que és independent de s. Un càlcul demostra que

L(s, η_{v}) = \frac{1}{1 − η_{v}(ω_{v})q^{−s}} si η_{v} és no ramificat

i L(s, η_{v}) = 1 altrament(v no arquimediana). En tots els casos L(s, η_{v}) = ζ_{v}(f_{v}, η_{v}, s) per una el.lecció apropiada dels f_{v}. És a dir hi ha una analogia entre el cas GL(1, 𝔸) i G_{𝔸}. Notem que pel GL(1, 𝔸) els factors ε(η_{v}, s) = 1 si η_{v} és no ramificat i ε(η_{v}, s) = (arrel unitat)q^{cond(η_{v})( \frac{1}{2} −s)}.

5. Les funcions especials de l’espai de Whittaker W_{v}^{0}(g) del teorema, són les funcions que ens permetran pensar la funció L global com una transformada de Mellin adèlica, és a dir sempre que lo que s’escrigui tingui sentit l’anterior ens diu que si denotem per

W^{0}(g) = ∏_{v} W_{v}^{0}(g_{v})

es compleix que

∏_{v} L(s, π_{v}) = ∫_{𝔸^{∗}} W^{0} (( \begin{matrix}x & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) g) |x|^{s− \frac{1}{2}} d^{∗}x

La pregunta natural és com aquests factors ens poden caracteritzar les representacions.

Teorema 4.4. Siguin π_{v,1} i π_{v,2} dues repres. irred. admis. de G_{v} amb el mateix caracter central. Llavors π_{v,1} i π_{v,2} són equivalents si i només si

ε(ξ_{v} ⊗ π_{v,1}, s)\frac{L(1 − s, ξ_{v}^{−1} ⊗ π̃_{v,1})}{L(s, ξ_{v} ⊗ π_{v,1})} = ε(ξ_{v} ⊗ π_{v,2}, s)\frac{L(1 − s, ξ_{v}^{−1} ⊗ π̃_{v,2})}{L(s, ξ_{v} ⊗ π_{v,2})}

per tot quasicaracter ξ_{v} de F_{v}^{∗}.

Descrivim els factors ε i L en el cas de repres. irred. adm. de dimensió no finita.

Teorema 4.5 (Cas v no arquimedià).

π_{v}  L(s, π_{v})  ε(s, π_{v})
π_{v}(μ_{1}, μ_{2})  L(s, μ_{1})L(s, μ_{2})  ε(s, μ_{1})ε(s, μ_{2})
(sèrie principal)  (=1 si μ_{1} i μ_{2} són no ramificats)
π_{v}(μ_{1}, μ_{2}) L(s, μ_{1}) ε(s, μ_{1})ε(s, μ_{2})E(μ_{1}, μ_{2}, s)

(repres. especial)

π_{v} supercuspidal  1  consultar [3]

On els factors L i ε són en la notació de la nota 4.3. quarta consideració; i

E(μ_{1}, μ_{2}, s) = \{ \begin{matrix}1 & si μ_{1} ramificat \\ −μ_{2}(ω_{v})q^{−s} & altrament \end{matrix}

Teorema 4.6 (Cas v real).

π_{ℝ}  L(s, π_{ℝ})  ε(s, π_{ℝ})
π_{ℝ}(μ_{1}, μ_{2})  L(s, μ_{1})L(s, μ_{2})  ε(s, μ_{1})ε(s, μ_{2})

(sèrie principal)

π_{ℝ} = σ_{ℝ}(n, t)  (2π)^{−s− \frac{t+n}{2}} Γ(s + \frac{t+p}{2}) Consultar [3]

(sèrie discreta en π_{v}(μ_{1}, μ_{2})

on

L(s, μ_{j}) = π^{− \frac{s+r_{j} +m_{j}}{2}} Γ (\frac{s + r_{j} + m_{j}}{2} )

i ε(s, μ_{j}) = i si μ_{j}(x) = |x|^{r_{j}}sgn(x)^{m_{j}}.

Hi ha un resultat que ens diu com són les funcions especials del model de Whittaker local que ens donen el factor local L.

Proposició 4.7 (Descripció de W_{v}^{0}(g_{v})).

• Cas arquimedià F_{v} = ℝ.

Si π_{v} és de la sèrie principal de G_{v}, llavors W_{v}^{0}(g) és la única funció O(2) invariant en W (π_{v}). Si π_{v} és equivalent a una serie discreta σ_{ℝ}(p, t) llavors és la funció en W (π_{v}) complint

ρ(μ_{1}, μ_{2}) (( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )) W_{v}^{0} = i(p + 1)W_{v}^{0}

.

• Cas no arquimedià.

Si π_{v} és de classe 1, llavors W (π_{v}) conté exactament una funció K_{v} invariant (1-dimens.) W_{v}^{0}(g) complint que W_{v}^{0}(e) = 1. Si π_{v} no és de classe 1, llavors W_{v}^{0}(g) és igual a la funció en W (π_{v}) que és K_{v}^{c(π_{v})}(1-dimensional) invariant per la dreta.

5 Funció L i un petit càlcul

Sigui π una representació irred. adm. unitària de G_{𝔸} tenim llavors que

π = ⊗_{v}π_{v}

on π_{v} rep.irred. admis. de classe 1 per quasi tots els v. Suposem que els π_{v} són de dimensió no finita llavors cadascun tenen associat un únic model de Whittaker local W (π_{v}) i l’espai de funcions de G_{𝔸} generat per les funcions de la forma

W (g) = ∏_{v} W_{v}(g_{v})

on W_{v} = W_{v}^{0} per quasi tota v, dona un model de Whittaker global (únic) W (π) per π; en particular l’acció de l’algebra de Hecke de G_{𝔸}, H(G_{𝔸}) en W (π) donada per convolució per la dreta és equivalent a π.

Nota 5.1. Si π = ⊗_{v}π_{v} rep.irred. admissible té espai de Whittaker global si i nomes si cada π_{v} és de dimensió no finita, [3] prop 9.2, 9.3.

En aquesta expossició ja s’ha comentat en la introducció que interessa poder caracteritzar d’alguna manera R_{0}^{ψ}. Recordem que s’ha demostrat dia 19-II-97 en la sessió anterior que tota constituent irreductible de R_{0}^{ψ} té multiplicitat 1; a més en la demostració del [2] pag 84; es demostra que a la representació π se li associa un model de Whittaker global; per tant amb la nota anterior tenim que les representacions que ens interesen prioritariament d’estudiar són repr. irred. adm. unitàries π = ⊗_{v}π_{v} on tots els π_{v} són de dimensió no finita, que són les repr. que em centro.

Definició 5.2. Sigui η un grossencaracter de F on η = ∏_{v} η_{v}. Definim

ε_{τ} (π ⊗ η, s) := ∏_{v} ε_{τ_{v}}(π_{v} ⊗ η_{v}, s)

com p.q.t. v π_{v} és de classe 1, llavors ε_{τ_{v}}(π_{v}, s) = 1 l’anterior producte sempre té sentit (recordem que τ denota un caracter aditiu de F \𝔸) . Definim finalment la funció L-global per

L(s, η ⊗ π) = ∏_{v} L(s, η_{v} ⊗ π_{v})

Nota 5.3. La definició anterior és vàlida per repr.irred.adm. amb model global de Whittaker. No obstant quan no hi ha model global de Whittaker pel cas de GL(2) s’arriven a definir uns factors locals; on llavors la definició anterior seria general. Per aprofundir-hi podeu consultar [3] el primer capítol.

Nota 5.4. En el llibre del Gelbart considera implicitament que ε_{τ} (π ⊗ η, s) = ∏_{v} ε_{τ_{v}}(π_{v}, η_{v}, s) on ε_{τ_{v}}(π_{v}, η_{v}, s) definides com en el teorema 4.2.i suposarem que coincideixen.

Nota 5.5. Com afecta τ a ε_{τ} (π, s)?. Fixem-nos que si denotem per τ′(x) = τ(bx) b ∈ F^{∗} llavors hem vist que per cada v teniem

ε_{τ′_{v}}(π_{v}, s,) = ψ_{v}(b)|b|_{v}^{2s−1}ε_{τ_{v}}(π_{v}, s)

on ψ és el caracter central de la representació π, observem llavors però que

∏_{v} ψ_{v}(b)|b|_{v}^{2s−1} = 1

Anem finalment a enunciar el resultat d’aquesta sessió que és com a traves de les funcions L caracteritzar les representacions de R_{0}^{ψ}.

Lema 5.6. Si π rep. irred. adm. unitària amb espai de Whittaker global llavors la funció L global convergeix per Re(s) suficientment gran.

Teorema 5.7 (Caracterització de R_{0}^{ψ}). Suposem π = ⊗_{v}π_{v} repr. irred. unitària adm. de G_{𝔸} de caracter central ψ. Llavors π és a R_{0}^{ψ}

si i nomes si

L(s, η ⊗ π) satisfà les següents propietats per tot η grossencaracter de F:

• L(s, η ⊗ π) s’exten a una funció entera acotada en les franjes verticals.

• L(s, η ⊗ π) satisfà l’equació funcional

L(s, η ⊗ π) = ε(π ⊗ η, s)L(1 − s, η^{−1} ⊗ π̃)

Finalment hem definit unes funcions L, podem fer-ne algun càlcul?. El problema radica en com poder dir com són les representacions π_{v} i en el cas de formes cuspidals clàssiques, Gelbart diu que no hi ha una “recepta” per poder dir com són, no obstant hi ha un cas particular que si.

Teorema 5.8. Sigui N = ∏_{i} p_{i} és un producte de primers diferents. Sigui f ∈ S_{k}(Γ_{0}(N)) una nova forma tal que T (p)f = a_{p}f ∀p , llavors

π_{f} = ⊗_{p}π_{p}

es pot descriure de la següent manera:

1. π_{∞} és la repr. de la sèrie discreta π_{ℝ}(n, t) amb n = k − 1 i t = 0.

2. Si (p, N) = 1, π_{p} és de classe 1, es té π_{p} = π_{p}(μ_{1}, μ_{2}) on μ_{1}μ_{2} és trivial i a_{p} = p^{\frac{k−1}{2}} (p^{s_{1}} + p^{s_{2}}) si μ_{i}(t) = |t|^{s_{i}}.

3. Si p = p_{i}, π_{p} és la representació especial de G_{p} amb caracter central trivial.

Nota 5.9. Per una prova de l’anterior resultat consulteu el capítol 5 de [2], on es la determinació anterior és gràcies a saber com actua l’operador de Casimir i l’operador de Hecke i de coneixer la taula dels conductors de les representacions admissibles.

Fem un càlcul de funció L. Suposem ara f ∈ S_{k}(SL_{2}(ℤ)) vector propi dels operadors de Hecke T (p) amb valors a_{p} = p^{\frac{k−1}{2}} (p^{s_{1}} + p^{−s_{1}}). Calculem-hi la funció L(s, π_{f}) = ∏_{p≤∞} L(s, π_{p}) on tenim llavors

L(s, π_{f}) = (2π)^{−s−( \frac{k−1}{2} )}Γ (s + \frac{k − 1}{2}) ∏_{p<∞}(1 − p^{−s_{1}}p^{−s})^{−1}(1 − p^{s_{1}}p^{−s})^{−1}

és a dir

L(s, π_{f}) = (2π)^{−s−( \frac{k−1}{2} )}Γ (s + \frac{k − 1}{2}) ∏_{p<∞}(1 − a_{p}p^{−s− \frac{k−1}{2}} + p^{−2s})^{−1}

i observem que aquesta funció L coincideix amb la L−funció de Hecke

L(s, π_{f}) = L(s′, f) = (2π)^{−s′}Γ(s′)D(s′, f)

amb s′ = s + \frac{k−1}{2}.

6 El resultat L(s, π_{f}) = L(s′, f)

Recordem que a una forma f ∈ S_{k}(N, ψ) valor propi dels operadors de Hecke T_{p} per tot primer p amb (p, N) = 1 li definiem la representació de G_{𝔸} donada per traslladats de ϕ_{f}(g). Per un resultat explicitat per en Bernat (12 de febrer); tenim que aquesta representació és irreductible. Si a mes és una forma nova segons Gelbart (ψ = 1) s’obté:

L(s, π_{f}) = ζ(1, W, 1, s) = ∫_{𝔸^{∗}} W ( \begin{matrix}x & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) |x|^{s− \frac{1}{2}} d^{∗}x

per una el.lecció concreta de l’espai de Whittaker, i com W_{v}^{0}(g) és K_{0}-invariant sota SO(2) es té llavors

L(s, π_{f}) = ∫_{ℚ^{∗}\𝔸^{∗}} ϕ_{f} ( \begin{matrix}y & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) |y|^{s− \frac{1}{2}} d^{∗}y

on s’obté

L(s, π_{f}) = ∫_{0}^{∞} f(iy)y^{s+ \frac{k−1}{2} −1}dy = L(f, s′)

Teorema 6.1. Sigui f ∈ S_{k}(Γ_{0}(N))^{new} valor propi de tots els operadors de Hecke llavors tenim que L(π_{f}, s) = L(f, s′) amb s′ = s + \frac{k−1}{2}.

La pregunta següent es si la mateixa resposta anterior és vàlida per la part vella. Plasmem el que diu el llibre [2]. Ens enuncia el següent resultat:

Proposició 6.2. Sigui f ∈ S_{k}(Γ_{0}(N)), llavors es té

L(s, π_{f}) = L(s′, f)(llevat d′una constant) ⟺ f ∈ S_{k}(Γ_{0}(N))^{new}

on s′ = s + \frac{k−1}{2}.

En [2] ens fa la següent prova:

Demostració. Podem pensar f valor propi dels operadors de Hecke T_{p} amb (p, N) = 1. Si f és nova pels arguments anteriors tenim que hi ha igualtat. Per altra banda si f no és nova és te llavors f(z) = h(dz) amb h nova on tenim llavors que

L(s, π_{f}) = L(s, π_{h}) = L(s′, h)

on com que L(s′, h) ≠ L(s′, f) obtenim el resultat.

Fem alguna consideració de l’anterior prova.

Nota 6.3. El fet de considerar que la forma és valor propi dels operadors de Hecke coprimers amb el conductor N és perquè són les representacions irreductibles (resultat explicitat per a en Bernat). Cal fer notar via la demostració que si en la demostració anterior posem d = 1 com la funció L(s, h) = L(s, f) i per tant un millor enunciat de l’anterior proposició seria

Teorema. Sigui f ∈ S_{k}(Γ_{0}(N)) valor propi dels operadors de Hecke T_{p} amb (p, N) = 1 llavors es té:

L(s, π_{f}) = L(s′, f) ⟺ f ∈ S_{k}(Γ_{0}(M))^{new}

amb M|N.

Referències

[1] Deligne : F ormes modulaires et représentations de GL(2), en el llibre M odular Functions of One Variable II, LNM 139, 1972.

[2] Gelbart, Stephen S.: Automorphic Forms on Adele Groups, Princeton University Press, 1975.

[3] Jacquet, H.; Langlands, R.P.: Automorphic Forms on GL(2), LNM, n 114, Springer, 1970.