Fonaments d’Àlgebra

Llista 5 de Problemes

Anells. Ideals primers-maximals. Lema de Zorn. Cos de fraccions. Curs 2001/02, 1er semestre

1. Considerem ℍ = {a + bi + cj + dk|a, b, c, d ∈ ℝ} on i^{2} = j^{2} = k^{2} = −1, ij = k = −ji, jk = i = −kj, ki = j = −ik. Observeu que (a + bi + cj + dk)(a − bi − cj − dk) = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}, per tant tot element de ℍ no nul té invers. Calculeu tots els ideals dreta, esquerra i bilaterals per a aquest anell.

2. És veritat que donat un anell R on tots els seus ideals són bilaterals, llavors R és un anell commutatiu?

3. Un element x de un anell R s’anomena nilpotent si existeix un natural n > 0 complint x^{n} = 0. Proveu que si x ∈ R és nilpotent llavors 1 + x és una unitat de R.

4. Sigui R un anell commutatiu.

(a) * Siguin 𝔭_{1}, …, 𝔭_{n} ideals primers de R i sigui 𝔞 un ideal de R contingut en ∪_{i=1}^{n}𝔭_{i}. Demostreu llavors que 𝔞 ⊆ 𝔭_{i} per algun i.

(b) Siguin 𝔞_{1}, …, 𝔞_{n} ideals de R i 𝔭 un ideal primer de R que conté ∩_{i=1}^{n}𝔞_{i}. Proveu que 𝔭 ⊇ 𝔞_{i} per a algun i. Proveu a més que si 𝔭 = ∩𝔞_{i} llavors 𝔭 = 𝔞_{i} per a algun i.

5. Proveu que els ideals primers de ℤ són exactament 0 i pℤ, amb p ∈ ℕ primer. (Podeu suposar que cada ideal de ℤ és principal).

6. Sigui R un anell booleà. Proveu que cada ideal primer 𝔭 de R és maximal i R/𝔭 és un cos amb 2 elements.

7. Sigui R un anell commutatiu on cada element x ∈ R satisfà x^{n} = x per algun n > 1 (depenent de x). Proveu que cada ideal primer de R és maximal.

8. Sigui R un anell commutatiu. Denotem per N el conjunt de elements nilpotents de l’anell, és a dir els x ∈ R on existeix un natural n_{x} on x^{n_{x}} = 0. Anomenem N el nilradical de R.

(a) Veure que el nilradical és un ideal de R i R/N no té cap element nilpotent ≠ 0.

(b) Provar que tot element nilpotent pertany a (la intersecció de) tots els ideals primers de R.

(c) * Proveu que la intersecció de tots els ideals primers de R és justament l’ideal N. Indicació: utilitzeu el lema de Zorn considerant fixat un element f ∈ R que no fos nilpotent i sigui el conjunt Σ el conjunt d’ideals 𝔞 amb la propietat

n > 0 ⇒ f^{n} ∉ 𝔞.

9. Sigui D un domini i S = D − {0}. Definieu en el conjunt D × S la relació ∀(a, b) i (c, d) ∈ D × S

(a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc.

Proveu que ∼ és una relació d’equivalència.

10. Definieu en Q(D) := D × S/ ∼ dues operacions binàries,

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} := \frac{ad + bc}{bd}

\frac{a}{b} · \frac{c}{d} := \frac{ac}{bd}.

Proveu que les operacions en Q(D) están ben definides.

11. Proveu amb tot detall que Q(D) és un anell commutatiu.

12. Demostreu que tot morfisme d’anells entre dos cossos és injectiu.

13. Considereu S en els exercicis 9 i 10 anteriors que correspongui a D − 𝔭 on 𝔭 és un ideal primer que fixem de R. Seguint la formulació dels exercicis 9 i 10 amb S = D − 𝔭 un pot provar que ∼ és una relació d’equivalènica i D_{𝔭} := D × S/ ∼ és un anell commutatiu. Sabent que D_{𝔭} és un anell commutatiu amb les operacions definides seguint l’exercici 10, demostreu que D_{𝔭} és un anell que té un únic ideal maximal.

Llista 5 suplementaria.Optativa.

14. Sigui R un anell commutatiu. Definim el radical de Jacobson de R com la intersecció de tots els ideals maximals de l’anell R, denotem aquest ideal per r_{J}(R). Proveu:

x ∈ r_{J}(R) ⇔ 1 − xy és una unitat en R ∀y ∈ R.

15. Sigui R un anell commutatiu, N el seu nilradical. Proveu que són equivalents:

(a) R té exactament un ideal primer.

(b) Cada element de R és o una unitat o nilpotent.

(c) R/N és un cos.

16. En un anell commutatiu R, sigui Σ el conjunt de tots els ideals en els quals cada element és un divisor de zero. Proveu que el conjunt Σ té elements maximals i que cada element maximal de Σ és un ideal primer. Per tant el conjunt de divisors de zero de R és una unió d’ideals primers.

17. Un anell commutatiu R s’anomena local si té exactament un ideal maximal. Sigui ara R un anell commutatiu i 𝔪 un ideal diferent del total tal que per cada x ∈ R − 𝔪 és una unitat en R. Proveu llavors que R és un anell local i 𝔪 el seu ideal maximal.

18. Sigui R un anell commutatiu i 𝔞 un ideal de R, denotem per

r(𝔞) := {x ∈ R|x^{n} ∈ 𝔞 per algun n > 0}.

Proveu:

(a) r(𝔞) és un ideal.

(b) r(𝔞) és la intersecció dels ideals primers de R que contenen a 𝔞.

19. Sigui R un anell commutatiu i sigui X el conjunt de tots els ideals primers de R. X s’anomena espectre de l’anell R i s’anota per Spec(R). Per cada subconjunt E de R, denotarem V (E) el conjunt de tots els ideals primers que contenen E. Proveu que:

(a) si 𝔞 és el ideal generat per E, llavors V (E) = V (𝔞) = V (r(𝔞)).

(b) V (0) = X, V (1) = X.

(c) si (E_{i})_{i∈I} és una familia qualsevol de subconjunts de R, llavors

V (∪_{i∈I}E_{i}) = ∩_{i∈I}V (E_{i})

(d) V (𝔞 ∩ 𝔟) = V (𝔞) ∪ V (𝔟).

Aquests resultats proven que els conjunts V (E) satisfant els axiomes de conjunts tancats en un espai topologic. La topologia resultant s’anomena la topologia de Zariski(és un topologia T_{0}, no es Hausdorff!!).

Per cada f ∈ A denotem per X_{f} = X − V (f). Els conjunts X_{f} són oberts. Aquest conjunts formen una base de conjunts oberts en la topologia de Zariski. Proveu que X = Spec(R) és quasi-compacte, és a dir cada recubriment obert de X té un subrecubriment finit. Indicació: es suficient considerar recubriment de X per subconjunts oberts bàsics X_{f_{i}}. Provar que els f_{i} generel l’ideal unitt i per tant tenim una equació de la forma

1 = ∑_{i∈J} g_{i}f_{i}

amb J finit, i llavors es té X_{f_{i}} amb i ∈ J recubreix X.

Usualment és convenient designar un ideal primer de R com x quan es pensa com un element de X = Spec(A). Quan x es pensa com un ideal primer de R usualment s’indica llavors per 𝔭_{x} (evidentment, és la mateixa cosa).

Intenteu veure que vol dir que en aquesta topologia un punt {x} és tancat en Spec(R).(Són els ideals maximals!).

20. Sigui R un anell commutatiu. Un subconjunt multiplicativament tancat de R és un subconjunt de R tal que 1 ∈ S i S és tancat respecte a la multiplicació (per exemple si R és domini una elecció de S podria ser R − {0}). Definirem en el conjunt R × S la relació ∀(a, b) i (c, d) ∈ R × S

(a, b) ∼ (c, d) ⇔ (ad − bc)u = 0 per a algun u ∈ S.

Proveu que ∼ és una relació d’equivalència.

21. Definirem S^{1}R := R×S/ ∼. Denotarem per \frac{a}{s} a la classe d’equivalencia (a, s) ∈ R × S. S^{−1}R és el conjunt de les classes d’equivalència. Es defineixen dues operacions binàries,

\frac{a}{s} + \frac{c}{t} := \frac{at + cs}{st}

\frac{a}{s} · \frac{c}{t} := \frac{ac}{st}.

Proveu que aquestes definicions són independents de la elecció dels representats (a, s) i (b, t) de S^{−1}R i que S^{−1}R és un anell commutatiu. S^{1}R s’anomena l’anell de fraccions de R amb respecte S.

22. Donat un anell R commutatiu, proveu que S = R − 𝔭 on 𝔭 és un ideal primer de R és un subconjunt de R multiplicativament tancat. A l’anell quocient S^{−1}R s’anota usualment R_{𝔭}.

23. Sigui R un domini i S = R − {0}. Llavors tenim que S^{−1}R = Q(R).

24. R un anell commutatiu i S = {f^{n}}_{n≥0} on f ∈ R un element fixat. Proveu que S és multiplicativament tancat. Denotem en aquesta situació S^{−1}R per R_{f}.

25. Considerem R = ℤ i sigui 𝔭 = (p) amb p un nombre primer. Qui és ℤ_{𝔭}? Quin cos és isomorf ℤ_{𝔭}/𝔭ℤ_{𝔭}?