Expliquem la taula
| espais vectorials | espais afins |
| esp. vectorials euclidians | esp. euclidians |
Desprs comencem la geometria af’ amb unes discussions heur’stiques per il·lustrar la noci— d'espai af’ i motivar la definici—. El primer exemple Žs el temps, desprs l'espai f’sic. En seguit tractem l'exemple de l'espai de les primitives d'una funci— real, i finalment l'exemple fonamental de solucions d'un sistema lineal no homogeni.
Passem a analitzar quina estructura tenen aquests exemples: observem que s—n de dos tipus: purament geomtriques (com formar el punt mig de dos punts) i mŽs aviat cinemˆtiques (com fer translacions). Adoptem el primer punt de vista com definici—; l'altre serˆ important tambŽ com a eina.
Terminem la lli— amb la definici— d'espai af’, subespai af’ i aplicaci— af’ en termes de combinacions afins, subratllant l'analogia perfecte amb les definicions d'espai vectorial, subespai vectorial i aplicaci— lineal en termes de combinacions lineals.
Tractem tres exemples: l'espai buit, l'espai af’ subjacent a un espai vectorial, i, mŽs detalladament, l'exemple de les solucions d'un sistema no homogeni d'equacions lineals. Observem que la condici— que els coeficients tinguin suma 1 Žs no nomŽs suficient, sin— tambŽ necessˆria pel funcionament d'aquest exemple fonamental. Un subexemple Žs l'espai af’ estˆndard.
Terminem amb l'exemple de la recta generada per dos punts, tractat en tot detall a la lli— segŸent.
El primer pas Žs veure que les translacions s—n aplicacions afins — Žs un cˆlcul directe. El segon pas Žs observar que parells de punts diferents poden definir translacions iguals: aix˜ succeeix exactament quan els parells formen els segments oposats d'un paral·lelogram. Aqu’ Žs important que varem definir paral·lelograms en termes de combinacions afins.
El tercer pas Žs demostrar que la composici— de dues translacions Žs una translaci— (i tambŽ els fets mŽs evidents que la identitat Žs una translaci—, identificar quals s—n les inverses, i la commutativitat).
Establim ara que l'acci— (evident) de les translacions en l'espai Žs simplement transitiva. Finalment observem que les translacions admeten la multiplicaci— per escalars, i que TA Žs un espai vectorial.
Introdu•m la noci— de combinaci— vectorial (els coeficients tenen suma 0). Discutim una definici— alternativa equivalent d'espai af’ (no buit), en termes d'una acci— simplement transitiva d'un espai vectorial.
Introdu•m la noci— de direcci— d'un subespai: Žs l'espai vectorial de les seves translacions. Caracteritzem els subespai no buits de A com a classes laterals de subespais vectorials de TA (l'espai de les translacions de A). Diem que dos subespais afins s—n paral·lels si tenen la mateixa direcci—, i provem que aix˜ Žs equivalent a un ser la translaci— de l'altre.
Establim la caracteritzaci— equivalent: cap punt Žs combinaci— af’ dels altres. La demostraci— explora el cˆlcul vectorial. Els segŸents lemes clarifiquen la relaci—: provem que un conjunt de punts Žs afiment independent si i nomŽs si la œnica combinaci— vectorial igual al vector zero Žs la combinaci— vectorial trivial. Provem que P0,...,Pn s—n afiment independents si i nomŽs si els vectors \vect{P0P1},...,\vect{P0 Pn} s—n linealment independents.
Introdu•m la noci— de generaci— af’ i de base af’, i establim la relaci— amb les conceptes corresponents de l'ˆlgebra lineal. Introdu•m coordenades afins (baricntriques) i coordenades cartesianes, i les compararem. Establim criteris d'independncia af’ en termes de rangs de matrius de coordenades (baricntriques o cartesianes).
Definim dimensi—.
El cas bijectiu Žs particularment important: ens proporciona les coordenades afins de l'espai.
Donat un subespai trobem les equacions que el defineixen, respecte a cooredenades afins. Aix˜ depn del rang d'una matriu, i altres arguments de l'ˆlgebra lineal...
Observem que una aplicaci— af’ estˆ determinada pels seus valors en una base. En dedu•m que isomorfismes afins preserven dimensi— i que dimensi— Žs l'œnic invariant de isomorfisme dels espais afins (de dimensi— finita). Provem que una aplicaci— injectiva Žs af’ si i nomŽs si preserva rectes i raons simples.
Estudiem les aplicacions afins en coordenades afins: s—n expressions en matrius on totes les columnes tenen suma 1.
Terminem amb exemples.
Estudiem aplicacions afins en coordenades cartesianes. S—n expressions amb matrius ampliades.
Reflectim una mica sobre el nou model de coordenades que ens suggereix el formalisme matricial d'aplicacions afins en coordenades cartesianes: s—n els espais
{ x ∈ Rn+1 | x0 = 1 }
que ens seran molt œtils en l'estudi de les quˆdriques.
Estudiem alguns exemples importants d'afinitats: translacions, homotcies, projeccions, i reflexions. L'anˆlisis de cada cas Žs via la diferencial i les seves propietats algebraiques, notablement els seus valors propis, per˜ no entrem en molt detalls.
Comencem la classificaci— de les afinitats del pla segons la quantitat de punts fixos, rectes invariants, i la seva diferencial: les afinitats amb una recta de punts fixos s—n les homologies (generals i especials). Les afinitats amb 1 punt fix s—n les homotcies (quan totes les rectes que passen pel punt fix s—n invariants), afinitats hiperb˜liques quan n'hi ha dues rectes invariants, parab˜liques quan n'hi ha una, i el·l’ptiques quan no n'hi ha cap recta invariant. Terminem amb menci— rˆpida del cas de les afinitats sense punt fix: s—n combinacions dels casos anteriors amb translacions.
Definim intersecci— de dos subespais afins i demostrem que si la intersecci— Žs no buida, la seva direcci— Žs la intersecci— de les direccions. Desprs definim la suma de dos subespais afins, i demostrem que si la intersecci— Žs no buida, la direcci— de la suma Žs la suma de les direccions. Amb aquests resultats ja arribem a la f—rmula de Grassmann del cas d'intersecci— no buida.
Per al cas d'intersecci— buida, establim el lema clau, la f—rmula de la direcci— d'una suma com a suma de les direccions mŽs la direcci— d'alguna recta que reuneix els dos subespais. La prova Žs una reducci— al cas anterior fent servir la recta auxiliar. Provem tambŽ el resultat tcnic que la recta auxiliar Žs necessˆria si i nomŽs si la intersecci— Žs buida. Els dos lemes impliquen immediatament la f—rmula de Grassmann del cas d'una intersecci— buida.
Terminem amb exemples.
Un espai euclidiˆ Žs un espai af’ amb mŽs estructura: una noci— d'angle i de distˆncia. Els morfismes han de preservar aquesta estructura extra, i per tant hi ha menys aplicacions euclidianes que aplicacions afins: Žs una geometria mŽs r’gida.
Expliquem com ambdues nocions, angle i distˆncia, Žs poden codificar convenientment en la noci— de producte escalar. Imposem aquesta estructura en T(A), no pas directament en A.
Resum en cinc minuts de la noci— de producte escalar (real) en un espai vectorial, i de les nocions derivades d'ella: norma, cosinus d'angles, ortogonalitat, mtrica.
Demostrem el teorema de Pitˆgores.
Recordem de l'ˆlgebra lineal que les matrius que preserven un producte escalar s—n les matrius ortogonals, i l'exemplifiquem amb les rotacions.
Discutim la noci— de moviment en un espai af’ euclidiˆ general, amb exemples; la diferncia entre moviment propi i impropi, i la utilitat de classificaci—.
Introdu•m la norma euclidiana i verifiquem que satisfˆ els axiomes de norma.
Recordem la desigualtat de Cauchy-Bunyakowski-Schwarz, i la seva conseqŸncia fonamental: la desigualtat triangular estricte. Introdu•m el cosinus d'un angle, i establim les f—rmules que relaciones la norma amb la forma bilineal.
Introdu•m les nocions de vector unitari, ortogonalitat i base ortonormal, i mostrem el fet que un conjunt ortonormal Žs linealment independent. Expliquem el procŽs d'ortonormalitzaci— de Gram-Schmidt. Definim subespai ortogonal.
Per terminar observem que una aplicaci— preserva el producte escalar si i nomŽs si Žs lineal i preserva la norma.
Introdu•m reflexions ortogonals, i establim la f—rmula expl’cita per a la reflexi— en un hiperplˆ; provem la existncia d'un hiperplˆ bisector de dos punts. Amb aix˜ podem provar el teorema de Cartan-DieudonnŽ, que tot f∈ O(n) es pot escriure com a producte de com a molt n reflexions en hiperplans.
Per a una aplicaci— ortogonal A: E→ E, establim ara, amb l'ajut del polinomi caracter’stic, la descomposici— de E en l'espai de valor propi 1, l'espai de valor propi -1, i la resta que Žs una suma de subespais de dimensi— 2 on la restricci— Žs una rotaci—. Aquest œltim fet analitzem mŽs a prop, comenant amb un estudi de SO(2): establim una bijecci— (no can˜nica) entre SO(2) i el conjunt de vectors unitaris de R². Aix˜ implica que podem definir angles entre dos vectors (unitaris) com l'œnic f ∈ SO(2) que porta u a l'altre. Desprs estudiem les reflexions. Veiem que qualsevol rotaci— es pot escriure com a producte de dues reflexions.
Discutim la noci— d'equivalncia d'isometries lineals, i mostrem que dues rotacions del pla s—n equivalents si s—n d'angles oposats.
Dedu•m la desigualtat triangular estricta, i fem servir la part estricta per demostrar que si una aplicaci— entre espais afins euclidians preserva la mtrica, llavors Žs una aplicaci— af’. La demostraci— Žs purament geomtrica: la part estricta de la desigualtat triangular mostra que l'aplicaci— preserva punts colineats.
Com que l'estructura mtrica inherentment concerneix els vectors — l'espai de les translacions — Žs natural qua ara les coordenades cartesianes passen a ser mŽs importants que les coordenades afins (baricntriques).
Introdu•m la distˆncia entre dues subvarietats i la perpendicular comuna, i dedu•m f—rmules per a elles.
Terminem la lli— amb algunes nocions i resultats clˆssics sobre els triangles: altures i ortocentre; mediatrius i circumcentre; bisectrius i incentre. La recta de Euler.
Observem que una afinitat Žs un moviment si i nomŽs si la seva diferencial Žs una aplicaci— ortogonal; volem estudiar els moviments fent servir el nostre coneixement dels O(n). El primer invariant Žs el signe del determinant de la diferencial: ens ocupem una estona amb una discussi— de moviments propis v. impropis, amb la interpretaci— f’sica. Sense molt d'esfor fem la classificaci— dels moviments de la recta.
El resultat principal de la lli— Žs tcnic. Estudiem l'espai propi de Df de valor propi 1, i introdu•m el vector de lliscament. Provem que el vector de lliscament uf d'un moviment f estˆ ben definit (no depn del punt on es calcula). Ara podem provar el teorema "estructural", factoritzant qualsevol moviment f : X → X com
f = uf • gon uf ∈ Ker(Df-Id) Žs el vector de lliscament, g := (uf)-1 • f. A mŽs, G := Fix(g) Žs no-buit i tenim TG = Ker(Df-Id). Aquest resultat serˆ la clau per a la classificaci— que farem a les llions segŸents.
Discutim la noci— d'equivalncia de moviments, inici de la teoria de classificaci—.
Primer estudiem els moviments propis del pla. S—n les translacions (caracteritzades per no tenir punt fix) i les rotacions (que tenen un œnic punt fix). Provem que una rotaci— seguida d'una translaci— Žs altra rotaci—, i que la composici— de dues rotacions Žs altra rotaci—. (Els enunciats tenen excepcions que senyalem amb cura.)
Desprs estudiem els moviments impropis. El cas essencial Žs el d'una reflexi—. Observem altre cop que la composici— de dues reflexions Žs una rotaci— (excepte al cas on els eixos de reflexi— s—n paral·leles, en qual cas Žs una translaci—). Introdu•m les reflexions lliscants com composici— d'una reflexi— amb una translaci— en la direcci— de l'eix, i les caracteritzem com els moviments impropis sense punts fixos.
Establim una taula amb els quatre tipus de moviments del pla i fem comentaris sobre el nombre de rectes invariants de cada tipus.
| ±1 | 0 | 0 |
| 0 | cos θ | -sin θ |
| 0 | sin θ | cos θ |
Si no hi ha punts fixos per f, fem servir el teorema estructural per factoritzar f = uf • g on g tŽ algun punt fix P. Ara hem redu•t al cas anterior i concloem que f Žs la composici— d'una rotaci— amb una translaci— en direcci— de l'eix.
Passem als moviments impropis. Al cas particular on θ = 0, altra vegada apliquem el teorema estructural per a tenir f = uf • g. Si el vector lliscant uf Žs zero, f tŽ un punt fix P, i arribem a la conclusi— que f Žs reflexi— en un pla (reflexi— especular). Si uf ≠ 0, trobem que f Žs la composici— d'una reflexi— especular i una translaci— en alguna direcci— continguda en el pla. Finalment, el cas general, θ ≠ 0. Llavors 1 no Žs valor propi, per tant hi ha un œnic punt fix. Un argument geomtric mostra que f Žs una reflexi— especular amb una rotaci— d'eix perpendicular (reflexi— rotat˜ria).
Concloem amb una taula amb totes les possibilitats.
Llistem els diversos tipus, amb invariants, equaci— can˜nica i nom, per a
— les quˆdriques de la recta
— les c˜niques
— les quˆdriques de l'espai
Fem dibuixos per a tots els tipus.
Definim punt central d'una quˆdrica af’ q: Žs un punt Z tal que la reflexi— central en Z deixa q invariant, Žs a dir q • rZ = q. Demostrem que un punt Žs central si i nomŽs si el polar Žs constant, i en dedu•m que el centre (conjunt de tots els punts centrals) Žs una varietat lineal.
Exemples.
Definim recta tangent a una quˆdrica q en un punt P com una recta tal que la intersecci— Žs un punt doble (o una recta continguda a V(q)).
Definim la varietat tangent de q a P com la uni— de les rectes tangents a P. Demostrem que tambŽ es caracteritza com el lloc dels zeros del polar de P. En particular Žs un hiperplˆ, excepte si P Žs un punt singular, en el qual cas la varietat tangent Žs tot l'espai.