Resulta que els sòlids platònics, al ser summament regulars, tenen diversos plans de simetria i eixos de rotació d'ordre dos, tres, quatre i cinc. Aquests estan interrelacionats (sovint els plans de simetria són perpendiculars a eixos de rotació).

A més a més, la dualitat entre cub i octaedre, entre icosaedre i dodecaedre, l'autodualitat del tetraedre i la relació entre cub i tetraedre o entre cub i icosaedre, es reflecteix en relacions entre els eixos i plans d'uns i altres.

En aquestes aplicacions he definit un o diversos sòlids, una sèrie d'eixos i els seus plans perpendiculars. Es pot provar en quins casos els eixos permeten una rotació d'ordre superior a u i quina relació hi ha entre la naturalesa del punt d'intersecció de l'eix amb el sòlid (centre de cara de n costats, centre d'aresta o vèrtex d'ordre n) i l'ordre de rotació.

En molts d'aquests eixos, el pla perpendicular produeix una simetria (en quins?? Quan l'ordre és parell, quasi sempre passa...), en altres casos podem fer simetria més rotació.

Contextualització de l'ús didàctic

Aquestes aplicacions han estat concebudes per fer una introducció d'una sessió a la geometria en 3D o bé per fer una sèrie d'exercicis en un context d'ampliació. Com que no l'he duta mai a terme fins ara, no puc donar gaires recomanacions didàctiques a part de les que em dicta el sentit comú, de manera que agrairé profundament indicacions al respecte si algú ho porta a terme a classe. Aquesta invitació és aplicable a la primera part del treball, evidentment.

Recomanacions pràctiques

Totes les aplicacions es poden visualitzar online, però és recomanable descarregar-les prèviament per evitar problemes amb el navegador.

Les projeccions es poden fer sobre una pantalla tranquil·lament. Si es vol dibuixar les interseccions dels plans de simetria es podria provar de fer sobre una pissarra, però no sé si funcionaria gaire l'activitat.

Pel que fa al contingut teòric, recomano la lectura del treball de recerca que m'ha inspirat a fer aquestes aplicacions, escrit per Adrià Sallés i Carme Tuneu (dirigit per mi mateix), especialment la secció "4.4 Plans de simetria" i "4.5 Eixos de rotació..." (p. 37 - 48) on s'expliquen detalladament els diferents plans i eixos de rotació que podeu trobar en cada un dels sòlids platònics. Descarrega treball.

A l'hora de treballar, es pot presentar als alumnes el cos físicament, que proposin eixos de rotació i plans de simetria i comprovar-ho amb les aplicacions. Això és especialment útil per les simetries, ja que les rotacions es poden fer directament sobre els eixos.

Finalment, les darreres aplicacions combinen diferents sòlids i permeten veure les seves relacions. Podeu veure que eixos i plans de sòlids duals coincideixen completament, mentre que el tetraedre només coincideix en alguns casos i té eixos coincidents amb els del cub i l'octaedre però d'ordre inferior. Bona part dels eixos del cub es troben en el dodecaedre (tots menys els que passen per centres d'aresta), mentre que a l'inrevés és menys freqüent.

Així, la darrera aplicació, on surten tots els sòlids platònics, pot servir per donar feina d'investigació als alumnes.

També recomano, en aquesta última aplicació, situar la simetria a mig camí, quan canvia el color, i aleshores anar passejant pels diversos eixos de rotació, visualitzant alguns dels poliedres transformats o tots ells alhora. Es creen dibuixos preciosos dels sòlids aixafats.

Gaudiu-ne i passeu-me referències de la vostra experiència a martilhuma@gmail.com.

Com a apunt final, dir que aquestes aplicacions estan dissenyades amb GeoGebra 2D, tot el motor de càlcul tridiensional és obra d'un servidor, usant rudiments de geometria linial i geometria projectiva.