Resum
S’examina la qüestió de l’existència i unicitat de solució de les equacions de Navier-Stokes no estacionàries. Es posa especial èmfasi en les implicacions filosòfiques i la perspectiva històrica. L’exposició pretén acostar-se al nucli del problema tot mantenint un llenguatge el menys tècnic possible.
Introducció
Un dels aspectes més valorats de la ciència és la seva capacitat de predir el futur. Per exemple, la mecànica celeste pot predir eclipsis amb molt de precisió i antelació. Més relacionat amb el tema d’aquesta exposició és el cas de la meteorologia; en aquest cas no s’aconsegueix tant de precisió i antelació com es voldria, però els resultats no deixen de ser apreciables.
En aquests exemples, i en molts altres del mateix estil, la possibilitat de predir l’evolució futura d’un sistema es basa en conèixer bé el seu estat present així com les lleis que governen la seva evolució. Matemàticament, l’estat d’un sistema es descriu mitjançant una col·lecció més o menys gran de variables numèriques, i les lleis que governen l’evolució temporal d’aquestes variables acostumen a prendre la forma d’equacions diferencials. Aquestes especifiquen una relació que s’ha de complir en cada moment i que determina la velocitat de variació de les diferents variables a partir del seu valor en aquell mateix moment. En el cas de la mecànica celeste les variables d’estat són les posicions i velocitats de desplaçament dels diversos astres, i les equacions diferencials en qüestió vénen donades per les lleis de Newton, a saber, que l’acceleració d’un cos és proporcional a la força a què està sotmès, i que aquesta força es pot calcular a partir de les posicions dels diversos astres mitjançant la fórmula que avui coneixem com a llei de la gravitació universal.
Doncs bé, les equacions de Navier-Stokes no són més que les equacions diferencials que governen una altra forma de moviment, a saber, el moviment d’un fluid, com ara l’aire o l’aigua. De fet, aquestes equacions segueixen expressant la llei de Newton, força igual a massa per acceleració, encara que aquí no es considera pas un conjunt finit de partícules, sinó un material continu. Una altra diferència respecte a la mecànica celeste és que les equacions de Navier-Stokes tenen en compte les forces de fricció, les quals actuen en el sentit de frenar el moviment. En aquesta exposició ens restringirem al cas especial d’un fluid incompressible, és a dir, de densitat constant, que és aproximadament el cas dels líquids.
No cal dir que un bon coneixement del moviment dels fluids és fonamental en molts camps de la ciència i de la tecnologia, des de la fisiologia fins a la indústria aeronàutica.
Tal com hem dit, s’espera que les equacions de Navier-Stokes comparteixin amb les equacions de la mecànica celeste la propietat de determinar l’evolució futura a partir de l’estat present. Doncs bé, els problemes apareixen a l’hora de donar una demostració matemàtica rigorosa d’aquesta afirmació. En el cas de la mecànica celeste, i de moltes altres equacions diferencials, sí que és possible donar tal demostració. En canvi, les equacions de Navier-Stokes s’hi resisteixen aferrissadament. Malgrat els notables esforços que s’han fet al respecte, fins ara no ha estat possible donar una demostració rigorosa del suposat determinisme d’aquelles equacions, ni de l’absència del mateix.
Les dificultats que sorgeixen en aquest problema matemàtic no estan desprovistes de significat físic. Ja a finals del segle xix, els experimentadors més acurats havien fet notar que en certes situacions els moviments dels fluids exhibien una aparent manca de determinisme. A aquest fenòmen experimental se li va donar el nom de turbulència, ja que el que s’observa no és gaire diferent del significat ordinari d’aquest terme. D’altra banda, també és cert que aquesta aparent manca de determinisme podria ser senzillament el resultat d’una precisió insuficient en l’especificació de l’estat inicial. De fet, avui dia sabem molt bé que les solucions exactes d’una equació diferencial poden ser perfectament deterministes però al mateix temps també poden dependre de manera molt sensible respecte a l’estat inicial, de manera que a la pràctica s’observi un comportament aparentment no determinista. Vers 1960 els meteoròlegs es van adonar clarament d’aquesta possibilitat (gràcies a la potència de càlcul proporcionada pels ordinadors) i anys després va quedar batejada amb el nom d’ “efecte papallona”.
Doncs bé, en relació amb tot això és important notar que el problema del determinisme de les equacions de Navier-Stokes es refereix a quelcom més greu que un simple efecte papallona: Pel que sabem fins ara, podria ser que les solucions matemàtiques exactes de les equacions de Navier-Stokes ja no estiguessin ben determinades! La distinció entre una i altra cosa segurament no és important des d’un punt de vista pràctic, però sí que ho és per a la ciència com a eina per a entendre el món.
En aquesta exposició intentarem acostar-nos al nucli del problema des d’una perspectiva el menys tècnica possible i més propera als fonaments.